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二叉堆

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二叉堆
類型二元樹/堆
發明時間1964年
發明者J·W·J·威廉斯英語J. W. J. Williams
大O符號表示的時間複雜度
算法 平均 最差
空間
搜尋
插入
尋找最小值
刪除最小值

二叉堆(英語:Binary heap)是一種特殊的,二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。二叉堆滿足堆特性:父節點的鍵值總是保持固定的序關係於任何一個子節點的鍵值,且每個節點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆。

當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為「最大堆」。當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為「最小堆」。

存儲

二叉堆一般用數組來表示。如果根節點在數組中的位置是1,第n個位置的子節點分別在2n和 2n+1。因此,第1個位置的子節點在2和3,第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基於1的數組存儲方式便於尋找父節點和子節點。

如果存儲數組的下標基於0,那麼下標為i的節點的子節點是2i + 1與2i + 2;其父節點的下標是⌊floor((i − 1) ∕ 2)⌋。函數floor(x)的功能是「向下取整」,或者說「向下捨入」,即取不大於x的最大整數(與「四捨五入」不同,向下取整是直接取按照數軸上最接近要求值的左邊值,即不大於要求值的最大的那個值)。比如floor(1.1)、floor(1.9)都返回1。

如下圖的兩個堆:

            1                                 11                          
         /      \                          /      \ 
       2         3                       9         10
    /    \     /   \                   /   \     /    \ 
   4      5   6     7                5      6   7      8
  / \    / \                        / \    / \
 8  9   10 11                      1   2  3   4 

將這兩個堆保存在以1開始的數組中:

位置:  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
左图:  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
右图: 11  9 10  5  6  7  8  1  2  3  4

對於一個很大的堆,這種存儲是低效的。因為節點的子節點很可能在另外一個內存頁中。B-heap是一種效率更高的存儲方式,把每個子樹放到同一內存頁。

如果用指針鍊表存儲堆,那麼需要能訪問葉節點的方法。可以對二叉樹「穿線」(threading)方式,來依序遍歷這些節點。

基本操作

在二叉堆上可以進行插入節點、刪除節點、取出值最小的節點、減小節點的值等基本操作。

插入節點

在數組的最末尾插入新節點。然後自下而上調整子節點與父節點(稱作up-heap或bubble-up, percolate-up, sift-up, trickle up, heapify-up, cascade-up操作):比較當前節點與父節點,不滿足「堆性質」則交換。從而使得當前子樹滿足二叉堆的性質。時間複雜度

刪除根節點

刪除根節點用於堆排序

對於最大堆,刪除根節點就是刪除最大值;對於最小堆,是刪除最小值。然後,把堆存儲的最後那個節點移到填在根節點處。再從上而下調整父節點與它的子節點:對於最大堆,父節點如果小於具有最大值的子節點,則交換二者。這一操作稱作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至當前節點與它的子節點滿足「堆性質」為止。

下屬對最大堆的自上而下調整堆的偽代碼中,數組A的下標索引值是從1開始:

Max-Heapify[1] (A, i):
 left ← 2i
 right ← 2i + 1
 largesti
 if leftheap_length[A] and A[left] > A[largest] then:
 largestleft
 if rightheap_length[A] and A[right] > A[largest] then:
 largestright
 if largesti then:
 swap A[i] ↔ A[largest]
 Max-Heapify(A, largest)

構造二叉堆

一個直觀辦法是從單節點的二叉堆開始,每次插入一個節點。其時間複雜度為

最優算法是從一個節點元素任意放置的二叉樹開始,自底向上對每一個子樹執行刪除根節點時的Max-Heapify算法(這是對最大堆而言)使得當前子樹成為一個二叉堆。具體而言,假設高度為h的子樹均已完成二叉堆化,那麼對於高度為h+1的子樹,把其根節點沿着最大子節點的分枝做調整,最多需要h步完成二叉堆化。可以證明,這個算法的時間複雜度為

建造最大堆的偽代碼:

Build-Max-Heap[1] (A):
 heap_length[A] ← length[A]
 for ifloor(length[A]/2) downto 1 do
 Max-Heapify(A, i)

合併兩個二叉堆

最優方法是把兩個二叉堆首尾相連放在一個數組中,然後構造新的二叉堆。時間複雜度為,其中n、k為兩個堆的元素數目。

如果經常需要合併兩個堆的操作,那麼使用二項式堆更好,其時間複雜度為

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Cormen, T. H. & al., Introduction to Algorithms 2nd, Cambridge, Massachusetts: The MIT Press, 2001, ISBN 0-07-013151-1 

外部連結