μ算子

μ算子（英語：μ operator）或者極小化算子（minimization operator），無界查找算子（unbounded search operator）在可計算性理論中，被用來尋找給定性質下的最小自然數。

定義

R( y, x₁ , . . ., x_k ) 是固定的在自然數上的 k+1 元關係。低洼「μy」，在無界和有界形式下，都是從自然數 { 0, 1, 2, . . . } 到自然數的「數論函數」。但是，「μy」包含在謂詞被滿第三代 有界μ算子最早出現在 Kleene（1952年）書中的「第4章原始遞歸函數，§45 謂詞，素因子表示」中：大幅度

「μy_y<zR(y)。最小的 y < z 使得 R(y)，如果 (Ey)_y<z R(y)；否則 z」。 (p.225)

Kleene 提示說對變量 y 的值域的 6 個不等式限制中任何一個都是允許的，它們是 y < z, y ≤ z, w < y < z, w < y ≤ z, w ≤ y < z, w ≤ y ≤ z。「當指示的值域不包含 y 使得 R(y) [為「真」]的時候，「μy」表達式的值是值域的基數」（p. 226）；這是缺省「z」出現在上述定義中的原因。如下面要證明的，有界μ算子「μy_y<z」是憑藉兩個原始遞歸函數有限和 Σ 與有限積 Π，「做測試」的一個謂詞函數，和轉換 { t, f } 到 { 0, 1 } 的表示函數而定義的。

在「第6章一般遞歸函數」中，Kleene 以如下方式定義了在變量 y 上的無界μ算子，

「（Ey）μyR(y) = { 最小的（自然數）y 使得 R(y) }」 (p. 279)，這裡的 「（Ey）」 意味着「存在一個 y 使得 ...」

在這個實例 R 自身內，或它的表示函數，在它被滿足的時候得出 0（就是得出真）；這個函數接着得出數 y。在 y 上不存在上界，所以在它的定義中不出現不等式。

對於一個給定 R(y) 無界μ算子 μyR(y)（注意不要求「（Ey）」）可以導致全函數或偏函數。Kleene 以不同的方式寫這個潛在的偏函數(cf. p. 317):

εyR(x, y) =

• 最小的 y 使得 R(x,y) [為真]，如果 (Ey)R(x,y)
• 0 否則的話。

性質

(i) 在原始遞歸函數的上下文中，這裡的 μ算子的查找變量 y 是有界的，也就是在下面公式中的 y<z，如果謂詞 R 是原始遞歸的（Kleene Proof #E p. 228），則

μy_y<z R( y, x₁,..., x_n ) 是原始遞歸函數。

(ii) 在（全）遞歸函數的上下文中：這裡的查找變量是無界的，但是保證對全遞歸謂詞 R 的參數的所有值 x_i 都存在，

(x₁), ..., (x_n) (Ey) R( y, x_i, ... x_n ) 蘊涵了 μyR(y, x_i, ... x_n) 是全遞歸函數。

這裡的 (x_i) 意味着「對於所有 x_i」而 Ey 意味着「存在着至少一個 y 的值使得」（cf Kleene (1952) p. 279.）。

則五個原始遞歸算子加上無界但完全μ算子給出了 Kleene 所稱的「一般」遞歸函數（就是由六個遞歸函數定義的全函數）。

(iii) 在偏遞歸函數的上下文中：假設關係 R 成立，當且僅當一個偏序遞歸函數收斂於零。並假設這個偏遞歸函數收斂（到某個東西不一定為零）只要 $\mu yR(y,x_{1},\ldots ,x_{k})$ 有定義而且 y 是 $\mu yR(y,x_{1},\ldots ,x_{k})$ 或更小。則函數 $\mu yR(y,x_{1},\ldots ,x_{k})$ 也是偏遞歸函數。

μ算子用在可計算函數作為μ遞歸函數的特徵化中。

例子

例子 #1：有界μ算子是原始遞歸函數

在下文中，為了節省空間使用粗體字 x 來表示字符串 x_i, . . ., x_n。

有界μ算子可以非常簡單的用兩個原始遞歸函數（簡寫為"prf"）來表達，它們是項的積 Π 與項的和 Σ，還被用來定義 CASE 函數 (cf Kleene #B page 224)。（按照需要，變量的任何界限比如 s≤t 或 t<z 或 5<x<17 等都是適當的）。例如：

• Π_s≤t f_s (x, s) = f₀(x, 0) * f₁(x, 1) * . . . * f_t(x, t)
• Σ_t<z g_t ( x, t ) = g₀( x, 0 ) + g₁(x, 1 ) + . . . + g_z-1(x, z-1 )

我們先要介入叫做謂詞 R 的表示函數的一個函數ψ。函數 ψ 定義為從輸入（t= "真", f="假"）到輸出 ( 0, 1 ) 的映射（注意次序!）。在這種情況下給 ψ 的輸入 { t, f } 來自 R 的輸出：

• ψ( R = t ) = 0
• ψ( R = f ) = 1

Kleene 展示了μy_y<z R(y)的如下定義；我們看到積函數 Π 充當了布爾 AND 算子，而和函數 Σ 充當布爾 OR 算子，不同的是它生成 { Σ≠0, Σ=0 } 而不是 { 1, 0 }:

μy _y<z R(y) = Σ_t<z Π_s≤t ψ( R( x ,t ,s )) =

• [ ψ( x, 0, 0 ) ] +
• [ ψ( x, 1, 0 ) * ψ( x, 1, 1 ) ] +
• [ ψ( x, 2, 0 ) * ψ( x, 2, 1 ) * ψ( x, 2, 2 ) ] +
• . . . . . . +
• [ ψ( x, z-1, 0 ) * ψ( x, z-1, 1 ) * ψ( x, z-1, 2 ) + . . . + ψ ( x, z-1, z-1 ) ]

和 Σ 實際上是帶有基礎步驟 Σ(x, 0) = 0 和歸納步驟 Σ(x, y+1 ) = Σ( x, y ) + Π( x, y ) 的原始遞歸。積 Π 是帶有基礎步驟 Π( x, 0 ) = ψ( x, 0 ) 和歸納步驟 Π( x, y+1 ) = Π( x, y )*ψ( x, y+1 ) 的原始遞歸。

通過 Kleene 給出例子很容易理解這個等式。他只為指示函數 ψ（R(y)）構建了表格。他用表示函數 χ(y) 簡寫 ψ( x, y ):

y	0	1	2	3	4	5	6	7=z
χ(y)	1	1	1	0	1	0	0
π(y) = Πs≤y χ(s)	1	1	1	0	0	0	0	0
σ(y) = Σt<y π(t)	0	1	2	3	3	3	3	3
最小的 y<z 使得 R(y) 為"真": φ(y) = μy y<z R(y)				3

例子 #2：無界μ算子不是原始遞歸函數

無界μ算子 -- 函數 μy -- 經常定義於教科書中。但是讀者可能奇怪於為什麼無界μ算子查找生成零而不是某個其他自然數的函數 R(x, y) -- 現代教科書沒有給出原因。

在腳註中 Minsky 的確允許他的算子在內部過程生成一個對參數 "k" 的匹配的時候終止；這個例子也是有用的因為它展示了另一個作者的格式：

" For μ_t[ φ(t) = k ] "(p. 210)

使用零的原因是無界算子μy將依據其索引 y 允許隨着μ算子的查找而增長的函數"積" Π 來定義。如上述例子提及的，一串數ψ(x, 0) *, . . ., * ψ(x, y)的積 Π _x<y 生成零，只要它的成員 ψ(x, i) 之一為零：

Π_s<y = ψ(x, 0) * , . . ., * ψ(x, y) = 0

如果任何 ψ(x, i)=0 這裡的 0 ≤ i ≤ s。所以 Π 充當了布爾 AND。

函數μy生成作為"輸出"的一個單一的自然數 y = { 0, 1, 2, 3 ... }。但是，在算子內可能出現一對「情況」之一：(a) "數論函數" χ 生成一個自然數，或(b) "謂詞" 生成 { t= true, f = false }。（在偏遞歸函數的上下文中 Kleene 後來允許第三種結果："μ = 不可判定", pp. 332ff）。

Kleene 分解他的無界μ算子定義來處理這兩種情況 (a) 和 (b)。對於情況 (b)，在謂詞 R(x, y) 可以參於積 Π 的算術運算之前，它的輸出 { t, f } 必須首先被它的「表示函數」χ運算生成 { 0, 1 }。而對於情況 (a)，如果要使用一個定義，則「數論函數」 χ 必須生成零來滿足μ算子。通過這個問題的確立，他展示了一個單一的"Proof III"，任何類型 (a) 或 (b) 與五個原始遞歸函數一起產生（全）遞歸函數 ... 帶有對全函數的限制：

對於所有參數 x，必須提供一個證明證實存在一個 y 滿足 (a) μy ψ(x, y) 或 (b) μy R(x,y)。

Kleene 還有第三個情況 (c) 不要求證明對於所有 x 存在一個 y 使得 ψ(x, y)。他在他的全遞歸函數要比可枚舉的函數要多的證明中用到了它。

Kleene 的證明是非形式的並使用了類似第一例子的例子。他首先把μ算子強制為運算於生成自然數 n 的χ函數上的「項的積」的不同形式， 這裡的 n 可以是任何自然數，而 0 在 u 算子的測試被滿足的時候出現。

使用 Π 函數的重新定義：

μy _y<zχ(y) =

• (i): π(x, y) = Π_s<y χ( x, s)

• (ii): φ(x) = τ( π(x, y), π( x, y' ), y)
• (iii): τ(z', 0, y) = y ;τ( u, v, w ) 是對 u = 0 或 v > 0 未定義的。

這是微妙的。在第一眼看來這些等式好像使用了原始遞歸。但是 Kleene 仍未提供通用形式的基本步驟或歸納步驟：

• 基本步驟：φ( 0,x ) = φ( x )
• 歸納步驟：φ( 0,x ) = ψ（ y, φ(0,x), x）接下來如何？首先，我們提醒自己我們已經指派一個參數（自然數）到所有變量 x_i。其次，我們確實看到一個後繼算子在做迭代 y（就是 y'）的工作。第三，我們看到函數 μy _y<zχ(y, x) 正好生成 χ(y,x) i.e. χ(0,x), χ(1,x), ... 的實例，直到一個實例生成 0。第四，在一個實例 χ(n,x) 生成 0 的時候，它導致τ的中間項，就是 v = π( x, y' ) 生成 0。最後，當中間項 v = 0 的時候，μy _y<zχ(y) 執行行 (iii) 並「退出」。Kleene 的等式 (ii) 和 (iii) 的表述已經作出了交易使行 (iii) 表示退出 -- 退出只在查找成功的找到一個 y 滿足 χ(y) 並且中間項 π(x, y' ) 為零的時候發生；算子接着終止查找於 τ(z', 0, y) = y。

τ( π(x, y), π( x, y' ), y), i.e.:

• τ( π(x, 0), π( x, 1 ), 0),
• τ( π(x, 1), π( x, 2 ), 1)
• τ( π(x, 2), π( x, 3 ), 2)
• τ( π(x, 3), π( x, 4 ), 3)
• . . . .。直到出現一個匹配於 y=n 並接着：
• τ(z', 0, y) = τ(z', 0, n) = n 並且μ算子的查找結束。

對於 Kleene 的例子，"...考慮 x_i, ... x_n 的任何固定值並簡寫 "χ(x_i, ... x_n,y)" 為 "χ(y)":

y	0	1	2	3	4	5	6	7	etc
χ(y)	3	1	2	0	9	0	1	5	. . .
π(y) = Π s≤y χ(s)	1	3	3	6	0	0	0	0	. . .
				↑
最小的 y<z 使得 R(y) 為"真": φ(y) = μy y<z R(y)				3

例子 #3：無界μ算子的抽象機定義

Minsky (1967) p. 21 和 Boolos-Burgess-Jeffrey (2002) p. 60-61 都提供了μ算子的抽象機定義。

下列示範跟從 Minsky 但不帶有其怪癖。這個示範將使用密切關於皮亞諾公理和原始遞歸函數的"後繼"計數器機模型。模型由（i）帶有指令的表格和我們重命名為「指令寄存器」（IR）的所謂「狀態寄存器」的有限狀態自動機，（ii）每個都可以只包含一個單一自然數的一些寄存器，和（iii）在下列表格中描述的四個「命令」的指令集：

在下面，符號 " [ r ] " 意味着" r 的內容"，而 " →r " 指示關於寄存器 r 的一個動作。

指令	助記符	對寄存器 "r" 的動作	對指令寄存器 IR 的動作
清除寄存器	CLR ( r )	0 → r	[ IR ] +1 → IR
增加寄存器	INC ( r )	[ r ] +1 → r	[ IR ] +1 → IR
等於時跳轉	JE (r1, r2, z)	無	IF [ r1 ] = [ r2 ] THEN z → IR ELSE [ IR ] +1 → IR
停機	H	無	[ IR ] → IR

給極小化算子μy [φ( x, y )] 的算法在本質上建立函數φ( x, y ) 的一個實例序列，隨着參數 y 的值（自然數）增加；這個處理將繼續（見下面的注釋 †）直到在函數φ( x, y ) 的輸出和某個預先確立的數（通常為 0）之間的匹配出現。所以 φ(x, y) 的求值需要在最開始時指派一個自然數到 x 的每個變量，指派一個「匹配數」（通常為 0）到一個寄存器 "w"，一個數（通常為 0）到寄存器 y。

注釋 †：無界μ算子將繼續這個嘗試匹配過程直到匹配發生或永遠。所以 "y" 寄存器必須是無界的 -- 它必須能夠持有任意大小的數。不像真實計算機模型，抽象機模型允許如此。在有界μ算子的情況下，下界μ算子將開始於 y 的內容被設置為不是零的一個數。上界μ算子將要求一個額外的寄存器"ub"來包含表示這個上界的數加上一個額外比較運算；一個算法可以同時提供下界和上界。

在下面我們假定指令寄存器 (IR) 遇到了在指令號 "n" 的μy「例程」。它的第一個動作將是在專用的 "w" 寄存器確立一個數 -- 函數 φ( x, y ) 在算法可以終止之前必須生成的數的「例子」（典型的是數零，但也可以使用不是零的數）。算法的在 "n+1" 指令的下一個動作將是清除 "y" 寄存器 -- "y" 將充當開始於 0 的「上升寄存器」。接着在 "n+2" 指令算法求值它的函數 φ( x, y ) -- 我們假定將取用 j 指令來完成 -- 在它的求值φ( x, y ) 的結束處放置它的輸出在寄存器"φ"中。在 n+j+3rd 指令算法比較在 "w" 寄存器中的數（比如 0）與在 "φ" 寄存器內的數 -- 如果它們是相同的，則算法成功並通過「exit」退出；否則它增加 "y" 寄存器的內容並回到「loop」再次用新的 y 值去測試函數 φ( x, y )。

IR		指令	對寄存器的動作	對指令寄存器 IR 的動作
n	μy[ φ( x, y ) ]：	CLR ( w )	0 → w	[ IR ] +1 → IR
n+1		CLR ( y )	0 → y	[ IR ] +1 → IR
n+2	loop:	φ ( x, y )	φ（[x]，[y]）→ φ	[ IR ] +j+1 → IR
n+j+3		JE (φ, w, exit)	無	CASE: { IF [φ]=[w] THEN exit → IR ELSE [IR] +1 → IR }
n+j+4		INC ( y )	[ y ] +1 → y	[ IR ] +1 → IR
n+j+5		JE (0, 0, loop)	無條件跳轉	CASE: { IF [r0] =[r0] THEN loop → IR ELSE loop → IR }
n+j+6	exit:	etc.

參見

• 圖靈度
• 多一歸約
• 枚舉歸約
• 超算術理論
• 算術層次
• 分析層次
• 能行描述集合論
• 圖靈機

參考文獻

• Stephen Kleene (1952) Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, New York, 11th reprint 1971: (2nd edition notes added on 6th reprint).

• Marvin L. Minsky (1967), Computation: Finite and Infinite Machines, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J.

On pages 210-215 Minsky shows how to create the μ-operator using the register machine model, thus demonstrating its equivalence to the general recursive functions.

• George Boolos，John Burgess，Richard Jeffrey (2002), Computability and Logic: Fourth Edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Cf pp. 70-71.