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Artin群

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数学上,阿廷群(或Artin group、称广义辫群,是指有如下展示

其中

.

表示长度为的交错积,以开首。例如:

,按惯例这表示间没有关系。

在整数中加入,可以组成一个对称矩阵,称为这个群的考克斯特矩阵Coxeter matrix)。在Artin群中加入所有形为的关系,得到的商群考克斯特群。这个考克斯特群和原本的Artin群有相同的生成元和考克斯特矩阵。从Artin群到对应的考克斯特群的群同态,称为纯阿廷群pure Artin group)。

Artin群的类

辫群是Artin群的一种,其考克斯特矩阵为,及当

用Artin群的考克斯特矩阵,可以定义出数类重要的Artin群:

有限型Artin群

M是有限型考克斯特矩阵,使对应的考克斯特群W = A(M)是有限群,那么Artin群A = A(M)称为有限型Artin群Artin group of finite type)。其“不可约型”标记为An , Bn = Cn , Dn , I2(n) , F4 , E6 , E7 , E8 , H3 , H4 。一个有限型纯Artin群,可以表现为Cn中一个有限超平面配置补集基本群皮埃尔·德利涅和Brieskorn-Saito用了这个几何描述,算出A中心上同调,及解出字问题共轭问题

直角Artin群

若矩阵M中除对角线外的元素都是2或∞,则对应的Artin群称为直角Artin群right-angled Artin group)。这类Artin群常用以下的方式标记:任何一个有n个顶点的 Γ,顶点标记为1, 2, …, n,都可定义一个矩阵M,其中若ijΓ中相连,则mij = 2,否则mij = ∞。与矩阵M对应的直角Artin群A(Γ)有n个生成元x1, x2, …, xn及关系

ij中相连。

直角Artin群包括了有限秩的自由群,对应无边线的图,及有限生成的自由阿贝尔群,对应完全图。事实上每个秩为r的直角Artin群都是一个秩为r-1的直角Artin群的HNN扩张,两个极端例子是自由积直积。这个构造法有一个推广称为群的图积graph product of groups)。直角Artin群是群的图积的特例,其中每个顶点群都是秩1自由群(即无限循环群)。

Mladen Bestvina和Noel Brady建构了一个非正曲立方复形(nonpositively curved cubical complexK,其基本群是一个给定的直角Artin群A(Γ)。他们在Artin群的几何描述上用莫尔斯理论来论证,给出具有性质(FP2)的非有限展示群的第一批例子。

其他Artin群

若一个Artin群或一个考克斯特群的对应矩阵中,对所有ij都有mi, j ≥ 3,称这个群是大型(large type)的;若对所有ij都有mi, j ≥ 4,则称这个群是超大型(extra-large type)的。

凯尼斯·阿佩尔和P.E. Schupp探讨Artin群的性质,证明了四条定理。这些定理之前已知对考克斯特群成立,而他们证明对Artin群也成立。他们发现可以使用小消去理论的技巧研究超大型Artin群和考克斯特群,并可以把技巧改进来用在那些大型的群中。

他们证明的定理为:

  1. G为超大型Artin或考克斯特群。若JI,则GJ有一个展示由考克斯特矩阵MJ定义,且GJG中的广义字问题可解。若J, KIGJGK = G (JK).
  2. 超大型Artin群是无扭(即无有限目的元素)的。
  3. G为超大型Artin群,则集合{ai2 : iI}自由生成G的一个自由子群。
  4. 超大型Artin或考克斯特群的共轭问题可解。

参考