霍普夫不变量

在数学特别是代数拓扑学中，霍普夫不变量（英语：Hopf invariant）是球面之间某些映射的一个同伦不变量。

历史

1931年海因茨·霍普夫利用克利福德平行（Clifford parallel）构造了霍普夫映射 $\eta \colon S^{3}\to S^{2}$，并通过利用圆周 $\eta ^{-1}(x),\eta ^{-1}(y)\subset S^{3}$ 对任意 $x\neq y\in S^{2}$ 的环绕数（=1），证明了 $\eta$ 是本质的，即不同伦于常值映射。随后证明了同伦群 $\pi _{3}(S^{2})$ 是由 $\eta$ 生成的无限循环群。1951年，让-皮埃尔·塞尔证明了对一个奇数维球面（$n$ 奇）有理同伦群 $\pi _{i}(S^{n})\otimes \mathbb {Q}$ 是零除非 i = 0 或 n。但对一个偶数维球面（$n$ 偶），在 $2n-1$ 次处多出一个无限循环同伦。对此有一种有趣的看法：

定义

设 $\phi \colon S^{2n-1}\to S^{n}$ 是一个连续映射（假设 $n>1$）。则我们可以构造胞腔复形

$C_{\phi }=S^{n}\cup _{\phi }D^{2n},$

这里 $D^{2n}$ 是 $2n$-维圆盘通过 $\phi$ 贴上一个 $S^{n}$。 胞腔链群 $C_{\mathrm {cell} }^{*}(C_{\phi })$ 在度数 $n$ 只是由 $n$-胞腔自由生成，故它们在度数 0、$n$ 与 $2n$是 $\mathbb {Z}$，其余都是零。胞腔（上）同调是该链复形的（上）同调，因为所有边缘同态必然是零（注意到 $n>1$），上同调是

$H_{\mathrm {cell} }^{i}(C_{\phi })={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=0,n,2n,\\0&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}$

记这些上同调群的生成元为

$H^{n}(C_{\phi })=\langle \alpha \rangle$ 与 $H^{2n}(C_{\phi })=\langle \beta \rangle .$

因为维数原因，这些类之间的所有杯积除了 $\alpha \smile \alpha$ 一定都是平凡的。从而作为一个环，上同调是

$H^{*}(C_{\phi })=\mathbb {Z} [\alpha ,\beta ]/\langle \beta \smile \beta =\alpha \smile \beta =0,\alpha \smile \alpha =h(\phi )\beta \rangle .$

整数 $h(\phi )$ 是映射 $\phi$ 的霍普夫不变量。

性质

定理：$h\colon \pi _{2n-1}(S^{n})\to \mathbb {Z}$ 是一个同态。进一步，如果 $n$ 是偶数，则 $h$ 映到 $2\mathbb {Z}$。

对霍普夫映射霍普夫不变量是 $1$（这里 $n=1,2,4,8$，分别对应于实可除代数 $\mathbb {A} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {H} ,\mathbb {O}$，而二重复叠 $S(\mathbb {A} ^{2})\to \mathbb {PA} ^{1}$ 将球面上的一个方向送到它生成的子空间）。只有这些映射的霍普夫不变量是 1，这是最先由弗兰克·亚当斯（Frank Adams）证明的一个定理，后来迈克尔·阿蒂亚利用 K-理论重新给出了证明。

推广到稳定映射

可以定义一种非常一般的霍普夫不变量概念，但需要一些同伦论知识预备：

设 $V$ 表示一个向量空间而 $V^{\infty }$ 是其单点紧化，即对某个 $k$ 有 $V\cong \mathbb {R} ^{k}$ 而 $V^{\infty }\cong S^{k}$。如果 $(X,x_{0})$ 是任意带基点的空间（在上一节中不明确），如果我们去无穷远点为 $V^{\infty }$ 的基点，则我们可以构造楔积 $V^{\infty }\wedge X$。

现在令 $F\colon V^{\infty }\wedge X\to V^{\infty }\wedge Y$ 是一个稳定映射，即在约化垂纬函子下稳定。$F$ 的（稳定）几何霍普夫不变量是

$h(F)\in \{X,Y\wedge Y\}_{\mathbb {Z} _{2}}$，

是从 $X$ 到 $Y\wedge Y$ 映射的稳定 $\mathbb {Z} _{2}$-等变同伦群中一个元素。这里稳定意为“在垂纬下稳定”，即通常等变同伦群在 $V$ 上（或 $k$，如果你愿意）的正向极限；而 $\mathbb {Z} _{2}$-作用是 $X$ 的平凡作用与交换 $Y\wedge Y$ 中两个因子。如果我们令 $\Delta _{X}\colon X\to X\wedge X$ 表示典范对焦映射而 $I$ 是恒等，则霍普夫不变量由下式定义：

$h(F):=(F\wedge F)(I\wedge \Delta _{X})-(I\wedge \Delta _{Y})(I\wedge F).$

这个映射原本是从 $V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge X$ 到 $V^{\infty }\wedge V^{\infty }\wedge Y\wedge Y$ 的映射，但在正向极限之下它成为映射的稳定同伦 $\mathbb {Z} _{2}$-等变群的典型元素。

也有一个非稳定版本的霍普夫不变量 $h_{V}(F)$，为此我们必须考虑向量空间 $V$。

参考文献

• Adams, J.F., On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. Math., 1960, 72: 20–104 
• Adams, J.F.; Atiyah, M.F., K-Theory and the Hopf Invariant, The Quarterly Journal of Mathematics, 1966, 17 (1): 31–38 

• Crabb, M.; Ranicki, A., The geometric Hopf invariant (PDF), 2006 [2009-06-22], （原始内容 (PDF)存档于2016-03-03） 
• Hopf, Heinz, Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Mathematische Annalen, 1931, 104: 637–665, ISSN 0025-5831 
• Shokurov, A.V., Hopf invariant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4