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输入-状态稳定性

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输入-状态稳定性(Input-to-state stability)简称ISS[1][2],是在有外部输入时,非线性控制理论中探讨其稳定性的方式。简单来说,控制系统具有输入-状态稳定性也就是指在没有外在输入时,系统会渐近稳定,而且在足够长的时间后,系统轨迹会限制在和输入大小有关的函数中。

输入-状态稳定性之所以重要,是因为此概念连接了输入-输出稳定性以及状态空间法,这二个都是控制系统研究者常常使用的工具。输入-状态稳定性的标示方式是由Eduardo Sontag英语Eduardo Sontag在1989年开始使用[3]

定义

考虑非时变常微分方程,其形式如下

1

其中勒贝格测度有本质确界的外部输入,且 利普希茨连续函数。这可以确保系统(1)有唯一绝对连续的解。

若要定义ISS以及其他相关的性质,需要引入以下的比较函数英语comparison function分类。令K类函数)为连续递增函数,且形成的集合,令为无界函数,再令KL类函数)为若在所有的都成立,而且针对所有的连续,且严格递减至0。

系统(1)称为在原点全域渐近稳定(0-GAS),若对应的零输入系统

WithoutInputs

是全域李雅普诺夫稳定,也就是存在 使得针对所有的初值 以及任意时间,以下有关(WithoutInputs)解的估计都有效>:

GAS-Estimate

系统(1)称为输入-状态稳定性(ISS)若存在函数 使得针对所有初值,所有可行的输入以及任意时间,以下的不等式都成立

2

上述不等式中的函数称为增益(gain)。

很明显的,ISS系统是0-GAS系统,也有有界输入有界输出稳定性(若令输出等于状态),不过0-GAS系统不一定是ISS系统。

也可以证明若在时,,则在时,

输入-状态稳定性质的特点

为了要了解输入-状态稳定性,需要用其他的稳定性术语来重新说明。

系统(1)为全域稳定(GS),若存在 ,使得对于,下式都成立

GS

系统(1)满足渐近增益(AG)特性,若存在,使得对于, ,下式都成立

AG

以下的描述都是等效的 [4]

  1. (1)有ISS(输入-状态稳定性)
  2. (1)是GS(全域稳定),且有AG(渐近增益)特性
  3. (1)是0-GAS(在原点全域渐近稳定),且有AG(渐近增益)特性

在论文中可以找到以上论述的证明,以及许多输入-状态稳定性的特性[4][5]

ISS-李亚普诺夫函数

ISS-李亚普诺夫函数是验证输入-状态稳定性时的重要工具。

光滑函数是系统(1)的ISS-李亚普诺夫函数,若, ,以及[[ 正定函数 (实值连续可微函数)|正定函数]] ,使得下式成立:

以及 ,下式成立:

函数称为李亚普诺夫增益(Lyapunov gain)。

若系统(1)没有输入(也就是),则最后一式可以简化如下

因此也是(一般定义的)李亚普诺夫函数

E. Sontag和Y. Wang得到的重要结论是系统(1)为ISS,若且唯若存在光滑ISS李亚普诺夫函数[5]

例子

考虑一系统

定义候选的ISS-李亚普诺夫函数如下

选择李亚普诺夫增益

.

可以得到在的条件下,下式成立

可得是该系统的ISS-李亚普诺夫函数,李亚普诺夫增益为

其他相关概念

积分输入-状态稳定性(iISS)

系统(1)为积分输入-状态稳定性(integral input-to-state stable,iISS)若存在函数,使得针对所有初值,所有可行的输入及任意时间下,以下不等式都会成立:

3

积分输入-状态稳定性(iISS)系统和ISS系统不同,若系统是iISS系统,在有界输入下其轨迹仍可能会成长到无限大。例如,在所有,令,且令,则估计(3)会变成以下的形式

随著,等号右侧会趋近无限大

局部输入-状态稳定性(LISS)

局部输入-状态稳定性也是一种输入-状态稳定性的特性。系统(1)为局部输入-状态稳定性(locally ISS、LISS)若存在常数、函数 使得:针对所有,所有可行的输入及任意时间,下式都成立

4

可以观察到0-GAS系统会有LISS系统的特性[6]

其他的稳定性

也有其他人提出和输入-状态稳定性有关的稳定性特性,例如增量输入-状态稳定性(incremental ISS)、输入至输出动态稳定性(input-to-state dynamical stability、ISDS)[7]、输入至输出实务稳定性(input-to-state practical stability、ISpS)、输入至输出稳定性(input-to-output stability、IOS)[8]等。

时滞系统的ISS

考虑非时变的时滞微分方程

TDS

其中是系统(TDS)在时间的状态,需满足特定假设,以确保系统(TDS)的解存在且唯一。

系统(TDS)为ISS,若且唯若存在函数,使得针对所有,所有可行的输入,在任意时间下,下式都成立

ISS-TDS

在时滞系统的ISS理论中,提出了二个不同的李亚普诺夫型的充份条件:透过ISS Lyapunov-Razumikhin函数[9]及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函[10]。有些论文有提到有关时滞系统的逆李亚普诺夫定理[11]

其他类型系统的输入-状态稳定性

以非时变常微分方程为基础的输入-状态稳定性是已有相当发展的理论。也有研究者将此理论应用在其他的系统中,例如时变系统[12]混合系统[13][14]。近来也有人提出,将输入-状态稳定性的一些概念扩展到无限维系统的想法[15][16][1][17]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.
  2. ^ E. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math., pages 163–220, Berlin, 2008. Springer
  3. ^ Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.
  4. ^ 4.0 4.1 Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability Archive-It存档,存档日期2011-04-01. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
  5. ^ 5.0 5.1 Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property页面存档备份,存于互联网档案馆). Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
  6. ^ Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996
  7. ^ Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
  8. ^ Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.
  9. ^ Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.
  10. ^ P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.
  11. ^ Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.
  12. ^ Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.
  13. ^ C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
  14. ^ D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.
  15. ^ Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability页面存档备份,存于互联网档案馆). Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
  16. ^ Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems.[永久失效链接] In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013
  17. ^ F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.