调整函式(英语:Scaling Function)
分辨率为2-j的 f 的近似值被定义为Vj上的正交投影PVjf。
为了计算这个投影,我们必须找到Vj的标准正交基底。
定理使 Riesz 基底 {θ(t-n)}n∈Z正交化,并通过扩张和平移调整函式Φ,建构每个空间Vj的正交基底。
避免混淆分辨率2-j和尺度 2j,在这里,分辨率的概念被丢弃,并且PVjf 为尺度2j的近似值。
定理
令 {Vj }j∈Z为多分辨率近似,并且Ø为具有傅立叶变换的调整函数
![{\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\dfrac {{\hat {\theta }}(\omega )}{(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{1/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b59b9239c2400338bce1a79c9bcdb06cb0168f2)
其中
![{\displaystyle \phi _{j,n}(t)={\dfrac {1}{\sqrt {2^{j}}}}\phi ({\dfrac {t-n}{2^{j}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c48d08a42d294cc962619f04945bb872a8767280)
当j∈Z,Vj的正交基底为{Φj,n}n∈Z
定理证明
为了建造一个标准正交基底,我们寻找一个函数Φ∈V0。 因此,它可以在{θ(t-n)}n∈Z的基础上扩展:
![{\displaystyle \phi (t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }a[n]\theta (t-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376f54357f54a0b3bacb126f55f51213a4523bf4)
这意味著
![{\displaystyle {\hat {\phi }}(\omega )={\hat {a}}(\omega ){\hat {\theta }}(\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a29a0887163a4c7eea70d49d8129bf44d5a7dbf)
其中
是周期2W的有限能量的傅立叶级数。 为了计算
我们表示了
频域中{Φ(t-n)}n∈Z的正交性。 设
。
对任意(n,p)∈Z2而言
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \phi (t-n),\phi (t-p)\right\rangle &=\int _{-\infty }^{+\infty }\phi (t-n)\phi ^{*}(t-p)\mathrm {d} t\\&=\phi \star {\bar {\phi }}(p-n)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec8d5340233e47b35f46f1a5e1cbdcd21ac1061)
因此,只有在
时,{Φ(t-n)}n∈Z是正交的。
计算此等式的傅里叶变换得到
![{\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\phi }}(\omega +2k\pi )|^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7139e3b026f82bf652406888b8ac109b739382a0)
实际上,
的傅里叶变换是
,取样函数可以对其傅立叶变换进行周期化。
如果我们选择下列式子,则上式将被证实
![{\displaystyle {\hat {a}}(\omega )=(\sum _{k=-\infty }^{+\infty }|{\hat {\theta }}(\omega +2k\pi )|^{2})^{-1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ddd1426184359359396d6418f121567005b047)
其中分母具有严格上下限,因此a是有限能量的2W周期函数。
近似值
通过缩放正交基础的扩展,获得f在Vj上的正交投影
![{\displaystyle P_{V_{j}}f=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle \phi _{j,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a1c1f7fef1aeaf31307c4796af0eafbe2132cc9)
内积为
![{\displaystyle a_{j}[n]=\left\langle f,\phi _{j,n}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4f5d85307a17dfc2d4015617d5ba6813a1f5ac)
在尺度2j处拥有离散近似。 我们可以将它们重写为卷积形式:
, with ![{\displaystyle {\bar {\phi }}_{j}(t)={\sqrt {2^{-j}}}\phi (2^{-j}t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204c7a70441b038a38fe76ce5df4ffcaa1c129ef)
傅立叶转换
的能量通常集中在[-π,π]中。
因此,
的傅立叶转换
主要是在[-2-jπ,2-jπ]中,不可忽略不计。
离散近似 aj[n] 是以间隔 2j 取样的 f 低通滤波。
参考资料
- S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way, Academic Press, 3rd edition, 2009.