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虚数是指可以写作实数与虚数单位
乘积的复数[1]
,并定义其性质为
,以此定义,0可被视为同时是实数也是虚数(纯虚数)的数值[2]。
17世纪著名数学家笛卡尔所著《几何学》(法语:La Géométrie)一书中,命名其为nombre imaginaire(虚构的数),成为了虚数(imaginary number)一词的由来。
后来在欧拉和高斯的研究之后,发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面,复数平面上每一点对应着一个复数。
复数平面的图示。虚数位于垂直座标轴之上。
几何诠释
复数平面上乘以虚数单位表示旋转九十度
在几何学上,复数平面的垂直轴表示虚数,它们与代表实数的水平轴垂直。查看虚数的方法之一是参考标准数线:往右侧正幅度增长,往左侧则负幅度减少。在x轴的0点处,往上升方向可绘制y轴的“正”虚数,然后向上增加;而“负”虚数则往下增加。这个垂直轴通常被称为“虚数轴”,并被表示为
,Im,
,或
。
在该呈现图示中,乘以–1对应于以原点为中心180度的旋转。
的乘法对应于“逆时针”方向的90度旋转,而方程式
可被解释为,如果我们对原点应用两个90度旋转,则终了结果是单一个180度旋转。注意,“顺时针”方向的90度旋转也满足这种解释。这反映了
也解出了方程
。一般来说,乘以复数与以复数辐角围绕原点的旋转相同,然后按其大小进行缩放。
负数的平方根
我们应该将根号视为求
的解,故将一个数开根号后会有两个合理的值,此二值互相差一个负号。在将正数开根号时,这两个值一为正数一为负数,故习惯上直接将根号对应到正值,而负值的解以根号前加负号来表示。但对其它的数而言开根号没有自然的对应,
实际上代表的是两个数,分别为
及
。但若直接将
对应到
,而
对应到
也未尝不可。
性质
1. 不同的虚数都是不能比较大小的:
成立,但
和
却均不成立。
举例说明:(反证法)
假设
平方得
得
即可看出矛盾。
再举例:假设
平方得
(不等式两侧同乘假设为负的
,不等式由小于变为大于)
得
即可看出矛盾。
因此虚数或者说虚部不为0的复数不能比较大小。
2. 因为
,
,
,
,
,
,很容易知道
(
)是关于指数
的周期函数,最小正周期是
。于是,我们有
![{\displaystyle i^{1}+i^{2}+i^{3}+i^{4}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c41593df6f56198a170596363d836355e01c9b10)
这表示
为方程
的一个根,另三个根分别为
及
。
另外可以证明
![{\displaystyle \omega =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4192a693ebc9b83771231fa9abeb35250ef4a1ef)
和
![{\displaystyle {\overline {\omega }}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7651b7eb16376e44b2e164c4b55dde5485952f8b)
为下列方程的根
![{\displaystyle x^{2}+x+1=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10dca41cc7110b6e6714dbd87f4c99651e4d0ff6)
![{\displaystyle x^{3}=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375ba124abe02fbaa08349bd9046a01b10a159a0)
其中,
称为
的共轭虚数(或共轭复数)。
3. 如果再将虚数的这个概念扩展开去,就可以组成四元数(Quaternion)、八元数(Octonion)等特殊数学范畴。
参见
参考资料
外部链接