秩 (群)

在数学的群论中，一个群G的秩rank(G)，是G的各个生成集合中最小的势，也就是

$\operatorname {rank} (G)=\min\{|X|:X\subseteq G,\langle X\rangle =G\}.$

若G是有限生成群，则G的秩是非负整数。

群的秩这个群论概念，类似于向量空间的维数。事实上，如果P是p-群，那么群P的秩，等于向量空间P/Φ(P)的维数，其中Φ(P)是P的弗拉蒂尼子群。

例子

• 对非平凡群G，rank(G)=1当且仅当G是循环群。
• 对自由阿贝尔群$\mathbb {Z} ^{n}$，有${\rm {rank}}(\mathbb {Z} ^{n})=n$。
• 若G是有限非阿贝尔单群，则rank(G) = 2。这是从有限单群分类得出的结果。
• 若G是有限生成群，Φ(G) ≤ G是G的弗拉蒂尼子群（Φ(G)一定是G的正规子群，故此商群G/Φ(G)可定义），则rank(G) = rank(G/Φ(G))。
• 若$G=\langle x_{1},\dots ,x_{n}|r=1\rangle$是单关系元群，r不是自由群F(x₁,..., x_n)的本原元，即r不在F(x₁,..., x_n)的某个自由基之内，则rank(G) = n。

参见

• 阿贝尔群的秩