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汉娜·诺伊曼猜想

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群论中,汉娜·诺伊曼猜想是关于一个自由群的两个有限生成子群的交的,1957年由汉娜·诺伊曼提出。[1]2011年伊戈尔·米涅耶夫(Igor Mineyev)[2]和乔尔·弗里德曼(Joel Friedman)[3]各自证明了这个猜想。

猜想叙述

H, KF(X)是自由群F(X)的两个非平凡有限生成子群, L = HK为其交,这个猜想指

rank(L) − 1 ≤ (rank(H) − 1)(rank(K) − 1).

其中对G,rank(G)为其,即G生成集合的最小大小。按尼尔森-施赖埃尔(Nielsen-Schreier)定理,自由群的子群也都是自由群,而自由群的秩等于任一个自由基底的大小。

历史

这个猜想的灵感来自Howson在1954年的一条定理。[4]他证明了一个自由群的任何两个有限生成子群的交都是有限生成的,即是有有限秩。他并证明了若HK是自由群F(X)有限生成子群,其秩分别为n ≥ 1及m ≥ 1,那么HK的秩s适合

s − 1 ≤ 2mnmn.

汉娜·诺伊曼在一篇1956年的论文中,[5]改进了上限

s − 1 ≤ 2mn2mn.

诺伊曼在1957年的附录中,[1]把上限改进到

s − 1 ≤ 2(m − 1)(n − 1).

她又猜想上式右边去掉因数2也成立,这就是以其命名的猜想。

参考

  1. ^ 1.0 1.1 Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Addendum. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), p. 128
  2. ^ Igor Minevev, "Submultiplicativity and the Hanna Neumann Conjecture."页面存档备份,存于互联网档案馆) Ann. of Math., 175 (2012), no. 1, 393-414
  3. ^ Joel Friedman, "Sheaves on Graphs, Their Homological Invariants, and a Proof of the Hanna Neumann Conjecture."页面存档备份,存于互联网档案馆) to appear in Memoirs of the AMS
  4. ^ A. G. Howson. On the intersection of finitely generated free groups. Journal of the London Mathematical Society, vol. 29 (1954), pp. 428–434
  5. ^ Hanna Neumann. On the intersection of finitely generated free groups. Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 4 (1956), 186–189.