欧米加常数

欧米加常数

欧米加常数
识别
种类	无理数 超越数
符号	$\Omega$
位数数列编号	A030178
性质
定义	$\Omega e^{\Omega }=1$
以此为根的多项式或函数	$xe^{x}-1=0$
表示方式
值	$\Omega \approx$0.5671432904... W(1)，W是朗伯W函数
二进制	0.100100010011000001001101…
十进制	0.567143290409783872999968…
十六进制	0.91304D7C74B2BA5EAFDDAA62…

欧米加常数是一个数学常数，定义为：

$\Omega \,\exp(\Omega )=1.\,$

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函数。

Ω的值大约为0.5671432904097838729999686622 （OEIS数列A030178）。它具有以下的性质：

$e^{-\Omega }=\Omega ,\,$

或

$\ln(1/\Omega )=\Omega .$

我们可以用迭代的方法来计算Ω，从Ω₀开始，用下面的数列进行迭代：

$\Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,$

当n→∞时，这个数列收敛于Ω。

无理数和超越数

我们可以用e是超越数的事实来证明Ω是无理数。如果Ω是有理数，则存在整数p和q，使得

${\frac {p}{q}}=\Omega$

所以

$1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}$

$e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}$

这样，e就是p次代数数。但是，e实际上是超越数，所以Ω一定是无理数。

Ω实际上也是一个超越数，这可以由林德曼-魏尔斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代数数，exp(Ω)将会是超越数，exp⁻¹(Ω)也是超越数。但这与它是代数数的假设矛盾。

参见

• 朗伯W函数

参考文献

• Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 欧米加常数. MathWorld.