榭赫伦实验
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榭赫伦实验(英语:Schiehallion Experiment)是十八世纪中,一次测量地球平均密度的实验。这次实验的资金由皇家学会提供,而主实验是在1774年夏季,于苏格兰珀斯郡(今珀斯-金罗斯)的榭赫伦山(Schiehallion)附近进行。这项实验的主要用具是摆,借由附近的山会对摆产生重力吸引的现象,于是当摆运动时,靠近山的一边会有微小的偏角,也正为实验所求。实验中摆角偏移的大小,取决于地球与山的相对密度和体积;因此,若可以确定榭赫伦山的密度,那么,其结果便能确定地球的密度。由于当时已经确定太阳系中各天体(行星、它们的卫星和太阳)的密度相对比值,所以只要知道地球的密度,科学家们就能估计出太阳系内各天体的密度近似值。于是,这项实验产生了第一组天体密度数值。
虽然艾萨克·牛顿在以前曾考虑过同样的实验,以展示他的万有引力定律,但最终由于测量困难的原因而决定放弃。然而,以当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林为首的一队科学家,却认为这样的效应是可以测量的,并计划进行这一个实验。而促成这次实验的一个原因是,在勘测梅森-狄克森线(美国宾夕法尼亚州、马利兰州、特拉华州与西维吉尼亚州间的一段边界)时所注意到的单向偏倚。经过对候选山头的初步调查,调查显示榭赫伦山是进行实验的理想地点,因为它拥有偏远的位置与近乎对称的山形。此外这个实验还有另一项贡献,就是实验者首度使用了等高线来简化勘测山的过程,即使现在制作地图还是会用到这种表示方式。
背景
在对称的引力场中,摆在静止时会垂直向下。然而,如果附近有其他大质量的物体(例如一座山),那么它的吸引力就会把摆的铅锤,向它那边拉过去,这样摆就会稍微偏离垂直。而由某已知物体(例如恒星)所造成的铅垂线角度偏移,则可以通过在山两边的各组对点上,对摆进行仔细的测量得出。通过判定山的体积,及估算山石的平均密度,这样就能够独立地得出山的质量,再加上在那座山多处的偏角测量值,就能通过外推得出地球的平均密度,然后再使用平均密度来算出地球的质量。
艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中,曾考虑过这个效应[1],但却悲观地认为,地球上任何山所造成的偏角都太小,而难以测量[2]。他写道,引力效应只能在行星的大小尺度下才看得到[2]。然而牛顿的悲观是没有根据的:虽然他的计算指出,偏角会小于2角分(对象是一座三英哩高的理想山),但是这个角度,尽管很小,还是在当时仪器的理论测量范围之内[3]。
任何一个测试牛顿万有引力定律的实验都有两个作用:一、为该定律提供证据;二、为地球的质量与密度提供近似值。而对于天文物体的质量,由于已知的只有各天体间的相对质量比,所以只要知道地球质量的大小,就能知道其他天体质量的合理数值,这些天体包括行星、它们的卫星,还有太阳。虽然这项实验的数据也能用于计算万有引力常数G 的大小,但是这不是当时实验者的目标;而G 最早的参考数值,则要再等几乎一百年,才出现在科学文献中[4]。
寻找合适山体
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1738年,钦博拉索山
一对法国天文学家,皮埃尔·布格(Pierre Bouguer)和夏尔·玛丽·德·拉·孔达米纳(Charles Marie de La Contamine),是最早进行这项实验的人,而他们在1738年的实验地为厄瓜多尔一的钦博拉索山[5],山高6,268米。当时他们的探险队,为了测量一度纬度内的子午线弧长,而在1738年离开了法国,前往赤道上的南美洲,但是他们却乘机进行了这项偏移实验。1738年12月,他们在非常困难的地形和气候下,于海拔4,680米和4,340米的地方,进行了两次测量[6]。布格在1749年的一份论文上说他们量度到8角秒的偏移,但是他却有意低估了这次结果的重要性,还说这项实验应该在条件较好英国或法国进行[3][6]。他还补充说,这次实验最少证明了,地球不可能是空壳。当时有思想家认为地球可能是空的,当中包括了爱德蒙·哈雷[5]。
1774年,榭赫伦山
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当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林于1772年向皇家学会提出,应该再多进行一次这项实验[7]。他还说这实验会“为进行它的国家带来荣耀”[3],更提出两处适合的实验地:约克郡的浑塞德峰(Whernside),及坎伯兰的布伦卡思拉-斯克道(Blencathra-Skiddaw)古地块。为此,皇家学会组成了引力委员会,来考虑这件事,委员包括马斯基林、约瑟夫·班克斯和本杰明·富兰克林[8]。为了找到一座适合实验的山,于是委员会派遣天文学家兼测量学家查理斯·梅森[谁?]二去进行调查。
经过1773年夏季的漫长搜寻后,梅森回报说最佳的候选地是榭赫伦山(Schiehallion,当时写法为Schehallien),它位处苏格兰高地的中央,在泰湖与兰洛湖(Loch Rannoch)之间,山高1,083米[8]。山的耸立之处看起来像被其他山孤立,而且附近的山离它都不太近,这样它们对实验的引力影响会较低,加上榭赫伦山的山脊东西对称,这样会简化计算。还有它陡峭的南北山脊离山的重心很近,这样会使偏移最大化。
然而,梅森拒绝以每天一坚尼的工资,自己执行是次实验[8] 。于是这个任务就落在马斯基林的手中,因此他被批准暂时卸下皇家天文学家的职务。为了执行这次任务,他有两名副手,数学家兼测量学家查理斯·赫顿(Charles Hutton),和任职于皇家格林尼治天文台的数学家鲁宾·巴罗(Reuben Burrow)。另外还雇有一队劳工,负责兴建天文学家的观测站,和协助勘测。科学队伍的配备齐全且精良:包括30厘米的黄铜象限仪,1769年库克船长出航观测金星凌日时就有带它;3米长的天顶仪,还有一座准确的摆钟,用于为天文观测所需的时间测定[9]。为了勘测山体,他们还取得了经纬仪、甘特链和一对气压计,用于量度海拔[9]。而且当时,皇家学会能够为实验提供丰厚的拨款,因为英皇将之前考察金星凌日的拨款馀额,交付了给学会[1][3]。
测量
天文
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为了这项实验,团队在山的南北麓各兴建了一所观测站,还兴建了一座简陋的小屋,作装备储藏及科学家住宿之用[6]三。而大部份劳工则住在用帆布搭建的帐篷中。最早进行的是马斯基林的天文测量。为了实验,他必须测定出铅垂的天顶距离,这个测量需要利用天上的一组星,而在量度时星必须通过正南线[3][10][11]。由于起雾和下雨的关系,所以天气状况并不理想。然而,马斯基林还是在南观测站,成功向某方向的34颗星作了76次测量,还有向另一方向的39颗星作了93次。之后,他到了北观测站,再向一组32颗星作了68次测量,又向另一组37颗星作了100次[6]。他在测量时把天顶仪的平面朝向东方,然后转往西方再测量,这样他成功地避开了仪器小口径化所带来的系统误差[1]。
为了判定山所造成的偏移,有必要考虑地球表面的弯曲:当纬度不同时,当地的观测者会发现天顶的位置不同,其偏移角度与纬度变化的度数一致。另外观测时还会遇上各种不同的效应,例如进动、光行差和章动,在考虑过这些效应之后,马斯基林指出,榭赫伦山南与山北的可见天顶,两者间的偏角为54.6角秒[6]。之后,勘测队伍交上了他们对南北观测站纬度差的结果,为42.94角秒,于是马斯基林把这个数值和他的天顶偏角值相减,再将数值按他的测量准确度整数化,他宣布南北两地的铅垂偏角和为11.6角秒[3][6][12]。
马斯基林将他的初步结果发表于1775年的《自然科学会报》[12],当中他用了初测时的山形数据,以及用这组数据推算出的重心位置。根据这组数据,马斯基林认为,假如榭赫伦山的平均密度与地球一样,那么铅垂偏角应为20.9角秒[3][13]。由于实验结果约为上述角度的一半,所以马斯基林能初步宣布,地球的平均密度约为榭赫伦山的两倍。更准确的结果,需要等到勘测过程完工后才会有[12]。
此外,马斯基林还乘机指出,榭赫伦山表现出引力,因此所有山都有引力;而且牛顿的引力反平方定律也被确认了[12][14]。皇家学会对马斯基林的研究表示欣赏,并将1775年的科普利奖章授予马斯基林;传记家亚历山大·查尔摩斯(Alexander Chalmers)写道:“如果还有任何对牛顿系统真实性的怀疑,那么它们现在全部都被除去了。”[15]
勘测
勘测队伍的工作进度,被持续恶劣的天气大幅延误,直至1776年才完成勘测[13]。为找出山的体积,计算时需要把山分成一组垂直的柱体,然后计算每一个柱体的体积。三角测量的工作由赫顿负责,而这是一项工作量很大的测量:勘测员需要在山的周围,超过一千个点上,一共量出数以千计的方位角[16]。此外,计算用柱体的顶点,并不一定会便利地落在勘测的高度上。为了理解全部数据,他决定使用内插法,在各测量值间放置一系列的线,线之间的高度差固定,线上的点都位于等高的位置。这样做的话,他不但可以简单地判定柱体的高度,而且能从线的回旋度立刻得知地形的形式。就是这样,赫顿首创了等高线,从那时起这项发明就广泛应用于地形图的绘制[6][16]四。
赫顿的太阳系密度表 | ||
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天体 | 密度(kg·m−3) | |
1778年赫顿[17] | 现代值[18] | |
太阳 | 1,100 | 1,408 |
水星 | 9,200 | 5,427 |
金星 | 5,800 | 5,204 |
地球 | 4,500 | 5,515 |
月球 | 3,100 | 3,340 |
火星 | 3,300 | 3,934 |
木星 | 1,100 | 1,326 |
土星 | 410 | 687 |
赫顿必须计算出众多格子上每一个柱体所造成的个别引力作用,而这项计算的工作量,跟勘测本身相差无几。在测量完成后,这项工作再花了他两年的时间,才能发表实验结果,最后他在1778年向皇家学会提交了一份一百页的报告论文[17]。假设地球与榭赫伦山的平均密度一致,他发现地球对铅锤的吸引力,比在南北观测站所得的吸引力和,要大9,933倍[16]。在考虑过纬度对地球引力的影响后,实际的摆偏角11.6"对应的比值为17,804:1 ,由于摆偏角的值为实验值,所以赫顿能够写下,地球的密度值为榭赫伦山的倍,或约倍[13][16][17]。因此漫长的勘测过程,并没有太大地影响马斯基林的计算结果。赫顿取榭赫伦山的密度值为2,500 kg·m−3,并宣布地球的密度值为它的倍,即4,500 kg·m−3[16]。对比现在所采纳的数值,5,515 kg·m−3[18],当时地球密度值的误差小于20%。
由于地球的平均密度,比表面的石块的密度要大得多,因此这很自然地意味着,地球的内部埋藏着密度更高的材质。赫顿正确地推测出,核心物质很有可能是金属,密度值为10,000 kg·m−3[16]。他估算出这金属部份,大概占地球直径的65%[17]。有了地球平均密度的数值,再加上热罗姆·拉朗德的行星天文表,赫顿能够计算出太阳系内各天体的密度值(见右表),而在这之前,有的只是各天体密度间的相对比值[17]。
实验重新操作
在榭赫伦实验后的24年后,出现了一种更直接且更准确的方法,来量度地球的平均密度,亨利·卡文迪什于1798年用一个灵敏度极高的扭秤,来量度两个大铅球间的引力作用。卡文迪什得出的数值为5,448 ± 0.033 kg·m−3五,跟现代数值的5,515 kg·m−3,只差1.2%,数值自卡文迪什后一直没有太大的改进,这个状况要到1895年才由查理斯·博伊斯(Charles Boys)改变[19]。卡文迪什进行实验时的用心,与实验的准确度,使得他的名字一开始就跟这项实验联系了起来[20]。
约翰·普莱费尔于1811年对榭赫伦山进行了第二次勘测:基于他对那儿石地层的新认知,于是他提出地球的密度值应在4,560至4,870 kg·m−3之间[21],但当时年迈的赫顿在1821年一份提交皇家学会的论文中,还坚决地为自己的原数值辩护[3][22] 。而普雷费尔的计算,使密度值更接近现代的数值,但是仍然太低,而且还比十多年前卡文迪什的数值要差得多。
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亨利·詹姆斯于1856年重做了榭赫伦实验,他是当时英国地形测量局的局长,而实验地则改在爱丁堡中央的亚瑟王宝座峰(Arthur's seat)[6][11][23]。运用测量局的资源,詹姆斯把他的测量范围扩大至半径21千米,到达中洛锡安的边界。而他得出的地球密度数值为5,300 kg·m−3[3][13]。
而2005年进行的一次实验,与1774年的实验有些许不同:该实验不再测量天顶的当地观测差,而测量摆在榭赫伦山上及山下时的周期差,实验能非常准确地测量到这一点。而摆的周期则是g的函数,g是当地的重力加速度。虽然摆在海拔高时速度会较慢,但是山的质量会使这个差减少。相以之下,这个实验的优点是,进行起来要比1774年的简单得多,但是还是能够得到所需的准确度,不过就需要把摆的周期量度至其一百万分之一[10] 。而这项实验得到地球质量值为8.1 ± 2.4×1024 kg[24],其对应平均密度值为7,500 ± 1,900 kg·m−3六。
如果用现代方法来重新研究地球物理数据,就可以顾及到1774年实验队伍所未能考虑的因素。由于有了直径120公里的数字地面模型,所以对榭赫伦山的地质知识也被大幅改进,再加上电脑带来的好处,2007年的一份报告得出的地球平均密度值为5,480 ± 250 kg·m−3[25]。当与现代值的5,515 kg·m−3比较,再比较2007年的数值,就可见当年马斯基林天文测量的准确度之高[25]。
数学步骤
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榭赫伦实验的力图如右,其中偏角被大幅度夸大。分析时只考虑山一边的吸引力,这样分析会简单得多[21]。设山的质量及密度分别为MM及ρM,其质心则为P,一质量为m的铅锤,被置于离P点距离为d的地方。由于山的吸引力F,铅锤轻微向P偏移,摆绳与垂直向地的重量W间的角度,为小偏角θ。W及F的向量和,构成摆绳中的张力T。又设地球的质量为ME,半径为rE及密度为ρE。
作用于铅锤的两股引力,可由牛顿万有引力定律求得:
其中G为牛顿万有引力常数。取F及W间的比值,此时G及m会被除去:
其中VM及VE为山及地球的体积。在静力平衡下,摆绳张力的垂直及水平分量,可由引力及偏角θ表示:
代入T,得:
其中已知VE、VM、d 和rE,而实验测量了θ,于是代入各数值,可用下式计算出ρE : ρM 的值[21]:
在1774年实验中,使用了南北观测站,其数学分析仍与上面的单边分析相近。在双边时,可将 的表达式写两次:一次为北站的,一次为南站的,两式相加后使用小角近似(),整理右方可得[25]:
代入(地球半径当时是已知的),得
其中由勘测所得,附上引力常数的原因是当时并未有这个概念。
注释
- ^ 注解一:当时位于秘鲁副王区。
- ^ 注解二:梅森之前曾和杰里迈亚·狄克森(Jeremiah Dixon),在美国国土上标记了梅森-狄克森线,这条线把当时的美国分成南北两部份。
- ^ 注解三:原建筑现已被摧毁,但在山边还是可以找到它们残存的部份。
- ^ 注解四:严格来说,这是一项重新创作:爱德蒙·哈雷在1701年画出了标记等量磁偏移的线(等磁偏线),荷兰地图学家尼科拉斯·克雷克(Nicolaas Kruik)在1727年也画出了标记等深度的线(等深线)。
- ^ 注解五:在卡文迪许的论文上,其值为5,480 kg·m−3。但是他算错了:他的测量数据实际上指向5,448 kg·m−3这个值;直到1821年,才由弗朗西斯·贝利找到这个错误。
- ^ 注解六:所用的地球体积值为1.0832×1012 km3。
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