格拉姆-施密特正交化

在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以约尔根·佩德森·格拉姆和艾哈德·施密特命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。可以用于矩阵计算。

记法

• ${\boldsymbol {V}}^{n}$：维数为n 的内积空间
• ${\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V}}^{n}$：${\boldsymbol {V}}^{n}$中的元素，可以是向量、函数，等等
• $\langle {\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2}\rangle$：${\boldsymbol {v}}_{1}$与${\boldsymbol {v}}_{2}$的内积
• $\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$：${\boldsymbol {v}}_{1}$、${\boldsymbol {v}}_{2}$……${\boldsymbol {v}}_{n}$张成的子空间
• $\mathrm {proj} _{\boldsymbol {v}}\,{\boldsymbol {u}}={\langle {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\rangle \over \langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {v}}\rangle }{\boldsymbol {v}}$：${\boldsymbol {u}}$在${\boldsymbol {v}}$上的投影

基本思想

图1 ${\boldsymbol {v}}$在${\boldsymbol {V}}^{2}$上投影，构造${\boldsymbol {V}}^{3}$上的正交基${\boldsymbol {\beta }}$

Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设${\boldsymbol {v}}\in {\boldsymbol {V^{n}}}$。${\boldsymbol {V}}^{k}$是${\boldsymbol {V}}^{n}$上的$k$维子空间，其标准正交基为$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$，且${\boldsymbol {v}}$不在${\boldsymbol {V}}^{k}$上。由投影原理知，${\boldsymbol {v}}$与其在${\boldsymbol {V}}^{k}$上的投影$\mathrm {proj} _{\boldsymbol {V^{k}}}{\boldsymbol {v}}$之差

${\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\eta }}_{i}}\,{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}-\sum _{i=1}^{k}\langle {\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i}$

是正交于子空间${\boldsymbol {V}}^{k}$的，亦即${\boldsymbol {\beta }}$正交于${\boldsymbol {V}}^{k}$的正交基${\boldsymbol {\eta }}_{i}$。因此只要将${\boldsymbol {\beta }}$单位化，即

${\boldsymbol {\eta }}_{k+1}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\|{\boldsymbol {\beta }}\|}}={\frac {\boldsymbol {\beta }}{\sqrt {\langle {\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {\beta }}\rangle }}}$

那么$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{k},{\boldsymbol {\eta }}_{k+1}\}$就是${\boldsymbol {V}}^{k}$在${\boldsymbol {v}}$上扩展的子空间$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {\eta }}_{1},...,{\boldsymbol {\eta }}_{k}\}$的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{m}\}$张成的空间${\boldsymbol {V}}^{m}$ ($m<n$)，只要从其中一个向量（不妨设为${\boldsymbol {v}}_{1}$）所张成的一维子空间$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$开始（注意到${\boldsymbol {v}}_{1}$就是$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1}\}$的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到${\boldsymbol {V}}^{n}$ 的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。

算法

首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为$\{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$。Gram-Schmidt正交化的过程如下：

	${\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{1}={{\boldsymbol {\beta }}_{1} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{1}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\langle {\boldsymbol {v}}_{2},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1},$		${\boldsymbol {\eta }}_{2}={{\boldsymbol {\beta }}_{2} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{2}\|}$
	${\boldsymbol {\beta }}_{3}={\boldsymbol {v}}_{3}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{1}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{1}-\langle {\boldsymbol {v}}_{3},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{2},$		${\boldsymbol {\eta }}_{3}={{\boldsymbol {\beta }}_{3} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{3}\|}$
	$\vdots$		$\vdots$
	${\boldsymbol {\beta }}_{n}={\boldsymbol {v}}_{n}-\sum _{i=1}^{n-1}\langle {\boldsymbol {v}}_{n},{\boldsymbol {\eta }}_{i}\rangle {\boldsymbol {\eta }}_{i},$		${\boldsymbol {\eta }}_{n}={{\boldsymbol {\beta }}_{n} \over \|{\boldsymbol {\beta }}_{n}\|}$

这样就得到$\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {v}}_{n}\}$上的一组正交基$\{{\boldsymbol {\beta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\beta }}_{n}\}$，以及相应的标准正交基$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},\ldots ,{\boldsymbol {\eta }}_{n}\}$。

例

考察如下欧几里得空间Rⁿ中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = b^Ta：

$S=\lbrace {\boldsymbol {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\boldsymbol {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\rbrace .$

下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：

${\boldsymbol {\beta }}_{1}={\boldsymbol {v}}_{1}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {\beta }}_{2}={\boldsymbol {v}}_{2}-\mathrm {proj} _{{\boldsymbol {\beta }}_{1}}\,{\boldsymbol {v}}_{2}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}-\mathrm {proj} _{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}$

下面验证向量${\boldsymbol {\beta }}_{1}$与${\boldsymbol {\beta }}_{2}$的正交性：

$\langle {\boldsymbol {\beta }}_{1},{\boldsymbol {\beta }}_{2}\rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0.$

将这些向量单位化：

${\boldsymbol {\eta }}_{1}={1 \over {\sqrt {10}}}{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}$

${\boldsymbol {\eta }}_{2}={1 \over {\sqrt {8 \over 5}}}{\begin{pmatrix}-2/5\\6/5\end{pmatrix}}$

于是$\{{\boldsymbol {\eta }}_{1},{\boldsymbol {\eta }}_{2}\}$就是 $\mathrm {span} \{{\boldsymbol {v}}_{1},{\boldsymbol {v}}_{2}\}$ 的一组标准正交基底。

不同的形式

随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。

例如，在实向量空间上，内积定义为：

$\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle ={\boldsymbol {b}}^{T}{\boldsymbol {a}}$

在复向量空间上，内积定义为：

$\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle ={\boldsymbol {b}}^{H}{\boldsymbol {a}}$

函数之间的内积则定义为：

$\langle f(x),g(x)\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g(x)dx$

与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。

参见

• 内积空间
• 内积
• 正交
• QR分解

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Orthogonalization, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Harvey Mudd College Math Tutorial on the Gram-Schmidt algorithm
• Earliest known uses of some of the words of mathematics: G （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Demos: Gram Schmidt process in plane and Gram Schmidt process in space
• Gram-Schmidt orthogonalization applet （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• NAG Gram–Schmidt orthogonalization of n vectors of order m routine （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Proof: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "proof of Gram-Schmidt orthogonalization algorithm" (version 8). PlanetMath.org. （页面存档备份，存于互联网档案馆）