有理簇

在数学中的代数几何领域，域 $K$ 上的有理簇是一个双有理等价于射影空间 $\mathbb {P} _{K}^{n}$（$n\in \mathbb {N}$）的代数簇。有理性仅依赖于其函数域，更明确地说，代数簇 $X$ 是有理簇若且唯若 $K(X)\simeq K(T_{1},\ldots ,T_{n})\;(n\in \mathbb {N} )$，其中 $T_{1},\ldots ,T_{n}$ 是独立的变元。

古典结果

Lüroth 定理是关于有理簇的基本结论，它断言：对于有理函数域 $K(T)$ 的子域 $L$，若次数 $[K(T):L]$ 有限，而 $K$ 代数闭，则 $L$ 也是个有理函数域。

翻译成几何语言，这相当于说：若对代数闭域 $K$ 上的代数曲线 $C$，存在满态射 $\mathbb {P} ^{1}\to C$（或称分歧覆盖），则 $C$ 是有理簇。

有理簇有一个有用的性质：若 $K$ 非有限域，$X$ 是 $K$-有理簇，则 $X(K)$ 在 $X({\bar {K}})$ 中稠密。

单有理簇

能由有理簇覆盖的代数簇称为单有理簇，用域论的语言来说，即是有理函数域 $K(T_{1},\ldots ,T_{n})$ 的子域 $L$，使得 $[K(T_{1},\ldots ,T_{n}):L]$ 有限。凡有理簇皆为单有理簇；在一维的情形，Lüroth 定理断言单一维的有理簇皆是有理簇。

对于复代数曲面，同样可由 Castelnuovo 定理导出单有理曲面皆为有理簇。但是在特征 $p>0$ 时存在反例。在三维情形， Clemens 与 Griffiths 找出了反例。

例子

• 代数群理论中常出现相关的结构；例如约化群皆为单有理簇，约化群对抛物子群的商是有理簇。

文献

• Noether, Emmy, Rationale Funkionenkorper, J. Ber. d. DMV, 1913, 22: 316–319 .
• Noether, Emmy, Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe, Mathematische Annalen, 1918, 78: 221–229, doi:10.1007/BF01457099 .
• Swan, R. G., Invariant rational functions and a problem of Steenrod, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 148–158, doi:10.1007/BF01389798 
• Martinet, J., Exp. 372 Un contre-exemple à une conjecture d'E. Noether (d'après R. Swan);, Séminaire Bourbaki. Vol. 1969/70: Exposés 364--381, Lecture Notes in Mathematics 180, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1971, MR0272580