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施瓦茨-米尔诺引理

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施瓦茨-米尔诺(Schwarz–Milnor或Švarc–Milnor[1])引理,是数学上的一个结果,给出了和在度量空间上的群作用的关系。阿尔伯特·施瓦茨首先发现这个结果,十数年后约翰·米尔诺重新发现。这条引理有时称为几何群论基本定理。[2]有了这条引理,就可以由度量空间的几何性质,来研究群的性质。

定义

X为一个度量空间。如果X每两点都有测地线相连,就称X测地的。

如果X中每一个都是紧致集,就称X常态的。考虑X中从某点量度距离的函数

那么闭球是紧致区间[0,a]在下的原像。因此,闭球都是紧致集这个条件,便等价于所有形如的距离函数都是常态映射。这就是称度量空间X为常态的原因。

一个群GX上的群作用称为真不连续的,如果对每个紧致集G中只有有限个元素g,使得。这个群作用称为馀紧的,如果存在一个紧致集,使得

引理叙述

X为一个常态测地度量空间。如果一个群G等距映射真不连续地、馀紧地作用在X上,那么G有限生成群。而且G中用一个有限生成集合S赋予G字度量后,和X拟等距同构;对于X的任何一点,映射都是从GX的拟等距映射。

证明

G中任何有限生成集合所对应的字度量,都是拟等距同构。故此只需找到一个有限生成集合S,证明在G上取对应S的字度量后,和X是拟等距同构即可。

选定。因为群作用是馀紧的,存在,使得G的作用下覆盖X

G的一个子集

G的元素g若在子集S内,则有

X是常态度量空间,故是紧致集,又因群作用是真不连续的,所以这样的g仅有有限个。因此S是有限集。

G中任何非平凡元素g,有一条测地线段连接两点。设k为整数,符合

在这条测地线段上取点j=1,..., k+1,满足

对每一点,都存在G中的元素,使得。可指定, 。如果,则有,因为

由此得出g是由最多k+1个S的元素的积。因此SG的生成集合,而且对所有g都有

,用三角不等式得出

对任何,有

故此从以上两条不等式可以得出

而且X中每一点x都距离某个不超过r,所以是拟等距映射,GX是拟等距同构。

注释和参考

  1. ^ Švarc是阿尔伯特·施瓦茨俄文姓氏Шварц俄语拉丁转写。他移居美国后,使用他的姓氏的拉丁字母惯常写法Schwarz。
  2. ^ Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups