希尔伯特模形式

在数学中，希尔伯特模形式是一类自守形式，对应于全实域 $K$ 及相应的群 $\mathrm {Res} _{K/\mathbb {Q} }GL(2)_{K}$。这可以视作模形式的一种多变元推广。当 $K=\mathbb {Q}$ 时，我们回到模形式的定义。

定义

对于 $m$ 次全实域 $K$、${\mathcal {O}}$ 为其中的代数整数环、 $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}:K\to \mathbb {R}$ 为相应的实嵌入映射。由此得到嵌入映射

$\mathrm {GL} (2,F)\to \mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )^{m},\quad g\mapsto (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{m}(g))$

设 ${\mathcal {H}}=\mathrm {GL} (2,\mathbb {R} )/\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ 为上半平面，透过上述嵌入，$\mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}})$（指 $\mathrm {GL} (2,{\mathcal {O}})$ 中行列式为正的元素）作用于 ${\mathcal {H}}^{m}$ 上。

对 $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL(2,\mathbb {R} )$，定义自守因子之值为

$j(g,z)=(\det g)^{-{\frac {1}{2}}}(cz+d)$

权为 $(k_{1},\cdots ,k_{m})$ 之希尔伯特模形式是指 ${\mathcal {H}}^{m}$ 上满足下述函数方程的全纯函数

$\forall \gamma \in \mathrm {GL} ^{+}(2,{\mathcal {O}}),\;f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).$

此定义与模形式的差异在于：当 $K\neq \mathbb {Q}$ 时，不需要另加增长条件，这是 Koecher 定理的一个推论。

文献

• Paul B. Garrett, Holomorphic Hilbert Modular Forms. Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Pacific Grove, CA, 1990. ISBN 0-534-10344-8
• Eberhard Freitag, Hilbert Modular Forms. Springer-Verlag. ISBN 0-387-50586-5