局部有限群

在数学的群论中，局部有限群是群的一种，研究方法与有限群相似。局部有限群的西罗子群、卡特子群、阿贝尔子群等都有被研究。

定义和初步结果

一个群称为局部有限群，如果任意有限生成子群都是有限群。

由于局部有限群的循环子群都是有限群，所以局部有限群的每个元素的阶都是有限，因此局部有限群是周期群。

例子和非例子

以下是局部有限群的例子：

• 有限群
• 无限个有限群的直和（Robinson 1996，p.443）（但是其直积未必是局部有限）
• ω-范畴群（Omega-categorical group）
• 普吕弗群
• 哈密顿群
• 周期可解群
• 局部有限群的任何子群
• 霍尔泛群是一个可数局部有限群，包含每个可数局部有限群为其子群。
• 每个群都有唯一极大正规局部有限子群（Robinson 1996，p.436）
• 在复数上的一般线性群的任何周期子群都是局部有限群。

非例子：

• 有无限阶元素的群
• 塔斯基魔群是周期群，但不是局部有限。

性质

局部有限群的类对于子群、商群、群扩张是封闭的。（Robinson 1996，p.429）

局部有限群适合较弱形式的西罗定理。若一个局部有限群有一个有限p-子群不包含在其他p-子群内，则所有极大p-子群都是有限和共轭的。若其共轭的数目有限，则此数对于模p同馀于1。（Robinson 1996，p.429）其实若一个局部有限群的每个可数子群都仅有可数个极大p-子群，则这个群的所有极大p-子群都共轭。（Robinson 1996，p.429）

参考

• Dixon, Martyn R., Sylow theory, formations and Fitting classes in locally finite groups, Series in Algebra 2, River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., 1994, ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499 
• Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1996, ISBN 978-0-387-94461-6 

外部链接

• A.L. Shmel'kin, L/l060410, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Otto H. Kegel and Bertram A. F. Wehrfritz (1973), Locally Finite Groups, Elsevier