密克定理(英语:Miquel's theorem)是几何学中关于相交圆的定理。1838年,密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。
定理陈述
三圆定理:设三个圆
,
,
交于一点
,而
,
,
分别是
和
,
和
,
和
的另一交点。设
为
的点,直线
交
于
,直线
交
于
。那么
,
,
这三点共线。
逆定理:如果
是三角形,
,
,
三点分别在边
,
,
上,那么三角形
,
,
的外接圆交于一点
。
完全四线形定理:如果
是完全四线形,那么三角形
,
,
,
的外接圆交于一点
,称为密克点。
四圆定理:设
,
,
,
为四个圆,
和
是
和
的交点,
和
是
和
的交点,
和
是
和
的交点,
和
是
和
的交点。那么
,
,
,
四点共圆当且仅当
,
,
,
四点共圆。
五圆定理:设
为任意五边形,五点
,
,
,
,
分别是
和
,
和
,
和
,
和
,
和
的交点,那么三角形
,
,
,
,
的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。
几何中的五圆定理是指,五个顺次相交的圆,其圆心和一个交点位于第六个圆上,将另一个交点两两连接并延长和圆相接,可以构成五角星。[1]
逆定理:设
,
,
,
,
五个圆的圆心都在圆
上,相邻的圆交于
上,那么把它们不在
上的交点与比邻同样的点连起来,所成的五条直线相交于这五个圆上。
历史
1838年密克在刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部份。
密克的第一条定理,是很久前已有的著名经典结果,以圆周角定理证明。
完全四线形四圆的交点现在称为密克点,但这性质施泰纳在1828年已经知道,华莱士也很可能已经知道。
五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由克利福德提出及证明。
2000年12月20日,中国国家主席江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间,在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题[2],令问题重新引起广泛兴趣,五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。
孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。
参考资料
外部链接