在数学中,容度是位势论里描述一个集合大小的概念。
定义
一如测度之于测度论,容度在某种意义下描述一个集合的大小。容度出现在许多数学领域中,特别是逼近理论或复分析。它的起源则与静电学中电容的概念有关。
对于
上一个有限且带紧支集的博雷尔测度 μ ,可以抽象地定义相应的位势函数:
![{\displaystyle p_{\mu }(z)=\int {\frac {\mathrm {d} \mu (w)}{|z-w|^{n-2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302e52d552a224f34dab10a6abe6eb8eed9b7ada)
这里的 μ 在物理上可以想像成一个
维世界里的电荷分布——至少在
时吻合静电学。μ 的能量则抽象地定义为位势的总和:
![{\displaystyle I(\mu )=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d858c21cb5ed11f379b2f2d702653f209d66da)
当 n=2 时,两个定义中的
都改取
设
为紧集,其容度定义作
![{\displaystyle C(K):={\dfrac {1}{\inf _{\mu }I(\mu )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d570c74310993d3864c9fa000fa1ed77eb1ec6e8)
- 其中的下确界取遍支集在
上的所有博雷尔机率测度 μ。
二维情形
在一个黎曼曲面 M 上给定一点
。若存在一个以
为极点的格林函数,则它在
点的一个够小开邻域 Ω 上有唯一表法
![{\displaystyle g_{p}(x)=\log |x-p|+h_{p}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2b8f7e9d1508631ecde71ed7da2dcc7db30669)
其中
是
上的调和函数。
此时
决定
的容度。这些量能用来分类黎曼曲面。根据
的曲率,可以用双曲距离或球面距离取代上述定义中的欧氏距离
,由此可得到双曲容量与球面容度(或称椭圆容度)。
文献
- E.D. Solomentsev, Capacity, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- E.D. Solomentsev, Robin constant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.