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容度

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数学中,容度位势论里描述一个集合大小的概念。

定义

一如测度之于测度论,容度在某种意义下描述一个集合的大小。容度出现在许多数学领域中,特别是逼近理论复分析。它的起源则与静电学中电容的概念有关。

对于 上一个有限且带紧支集的博雷尔测度 μ ,可以抽象地定义相应的位势函数

这里的 μ 在物理上可以想像成一个 维世界里的电荷分布——至少在 时吻合静电学。μ 的能量则抽象地定义为位势的总和:

当 n=2 时,两个定义中的 都改取

紧集,其容度定义作

其中的下确界取遍支集在 上的所有博雷尔机率测度 μ。

二维情形

在一个黎曼曲面 M 上给定一点 。若存在一个以 为极点的格林函数,则它在 点的一个够小开邻域 Ω 上有唯一表法

其中 上的调和函数

此时 决定 的容度。这些量能用来分类黎曼曲面。根据 曲率,可以用双曲距离或球面距离取代上述定义中的欧氏距离 ,由此可得到双曲容量与球面容度(或称椭圆容度)。

文献