单态射
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在范畴论里,一个态射被称之为单态射,则该态射为一具左消去律的态射。亦即,给定一单态射f : X → Y,则对所有的态射g1, g2 : Z → X,均能使得
单态射是单射函数(或称为一对一函数)在范畤论里的延伸。单态射的对偶概念为满态射,后者为满射函数的延伸。一态射于范畴C 里为单态射,则该态射于对偶范畴Cop 里为满态射。
性质
- 具左反元素的态射必为一单态射。因为,如一态射f 具有一左反元素l(即l 为一态射,且),则可知
- 不是每一个单态射都会有左反元素。举例来说,在由所有群所组成的范畴Group里,如H 是G 的子群,则其包含映射f : H → G 总会是个单态射;但f 于该范畴里具有一左反元素,若且唯若H 在G 里有一正规补群。
- 如态射f 的左反元素为一态射l,则态射f 为态射l 的右反元素,并称f 为l 的截面,l 为f 的收缩。每个截面都会是个单态射,且每个收缩都会是个满态射。
- 一态射f : X → Y 为单态射,若且唯若对所有的Z,定义一个映射f∗ : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), 使得对所有的态射h : Z → X,f∗(h) = f ∘ h,则其映射必为单射。
- 在具体范畴里,每个为单射函数的态射均为单态射;换句话说,当态射实际上为集合间的函数时,一态射如为一对一函数,则该态射必为单态射。
- 不是在所有的具体范畴里,每个单态射都会是个单射态射。举例来说,在由可除交换群所组成的范畴里,其中即存在著为单态射,但不为单射态射的群同态,如商映射q : Q → Q/Z(其中的Q 为由有理数在加法运算下所组成的群,Z 为由整数在加法运算下所组成的群,且Q/Z 为其商群)不是单射(因为每个整数都会映射至0),但为单态射。
另见
参考资料
- George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions(页面存档备份,存于互联网档案馆), Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
- Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
- Hazewinkel, Michiel (编), Monomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Jaap van Oosten, Basic Category Theory(页面存档备份,存于互联网档案馆)