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单态射

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范畴论里,一个态射被称之为单态射,则该态射为一具左消去律态射。亦即,给定一单态射f : XY,则对所有的态射g1, g2 : ZX,均能使得

单态射是单射函数(或称为一对一函数)在范畤论里的延伸。单态射的对偶概念为满态射,后者为满射函数的延伸。一态射于范畴C 里为单态射,则该态射于对偶范畴Cop 里为满态射。

性质

  • 左反元素的态射必为一单态射。因为,如一态射f 具有一左反元素l(即l 为一态射,且),则可知
  • 不是每一个单态射都会有左反元素。举例来说,在由所有所组成的范畴Group里,如HG 的子群,则其包含映射f : HG 总会是个单态射;但f 于该范畴里具有一左反元素,若且唯若HG 里有一正规补群
  • 如态射f 的左反元素为一态射l,则态射f 为态射l 的右反元素,并称fl截面lf收缩。每个截面都会是个单态射,且每个收缩都会是个满态射。
  • 一态射f : XY 为单态射,若且唯若对所有的Z,定义一个映射f : Hom(Z, X) → Hom(Z, Y), 使得对所有的态射h : ZXf(h) = fh,则其映射必为单射
  • 具体范畴里,每个为单射函数的态射均为单态射;换句话说,当态射实际上为集合间的函数时,一态射如为一对一函数,则该态射必为单态射。
  • 集合范畴里,每个单态射也会是个单射态射。该叙述在大多数可于代数里自然产生的范畴里也都成立,如在由所有组成的范畴、由所有组成的范畴,及所有的阿贝尔范畴里,每个单态射都会是个单射态射。
  • 不是在所有的具体范畴里,每个单态射都会是个单射态射。举例来说,在由可除交换群所组成的范畴里,其中即存在著为单态射,但不为单射态射的群同态,如商映射q : QQ/Z(其中的Q 为由有理数在加法运算下所组成的群,Z 为由整数在加法运算下所组成的群,且Q/Z 为其商群)不是单射(因为每个整数都会映射至0),但为单态射。

另见

参考资料

  • George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions页面存档备份,存于互联网档案馆, Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.
  • Francis Borceux (1994), Handbook of Categorical Algebra 1, Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.
  • Hazewinkel, Michiel (编), Monomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Jaap van Oosten, Basic Category Theory页面存档备份,存于互联网档案馆