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中线定理

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中线定理,又称阿波罗尼奥斯定理,是欧氏几何的定理,表述三角形两边和中线长度关系。它等价平行四边形恒等式

中线定理

任意三角形,设是线段的中点,为中线,则有如下关系:

证明

莱布尼茨标量函数约简,可以容易导出这性质:只需要在两个平方中引入

得出

的中点,因此相反,可知式中两个标积抵消。又因,得出

另一个证法

这可能是阿波罗尼奥斯的证明方法,因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下: 设是从的垂足,则是直角三角形。用勾股定理可得

所以

表达出来(记得的中点,因此)。注意到虽然现在的情形假设在线段上,但其 他情形也可以用这个方法。

代入前式:

是直角三角形(H为之垂足) ,因此

代入前式得出

中线的向量表达式

是线段的中点,则有

中线的另一条定理

用标积表示,其中到线的垂足。

从上得到中线的另一条定理

实际上

投影在 上是,因而有.

这两个共线向量的标积可等于或其负数,因此取绝对值。

参见