用户:LaanChae/沙盒

在球面三角学中，球面余弦定理是一个与球面三角形的边和角有关的定理，类似于平面三角学的余弦定理。

用余弦定理解球面三角形

给定一个单位球，球体表面的球面三角形由连接球体上三点 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {w}}$ 的大圆定义（如右图）。如果这三条边的长度是 $a$（从 ${\boldsymbol {u}}$ 到 ${\boldsymbol {v}}$）、$b$（从${\boldsymbol {u}}$ 到 ${\boldsymbol {w}}$）和 $c$（从 ${\boldsymbol {v}}$ 到 ${\boldsymbol {w}}$），并且 $c$ 对面的角是 $C$，那么（第一）球面余弦定理指出：

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\,$

由于这是一个单位球，这三条边的长度 $a$、$b$ 和 $c$ 就等于它们所对的圆心角（以弧度为单位）。对于非单位球体，边的长度是它所对的圆心角乘以球的半径，即使 $a$、$b$ 和 $c$ 被理解为边所对的圆心角，这个公式也成立）。作为一个特殊情况，若 $C={\frac {\pi }{2}}$，那么 $\cos C=0$，我们就可以得到球面上的勾股定理：

$\cos C=\cos a\cos b$

如果用球面余弦定理来求解 $c$，那么当 $c$ 很小的时候，必须进行的反余弦函数运算就会放大误差。在这种情况下，使用另一个公式半正矢公式更为可取。

球面余弦定理的一个变种，即（第二）球面余弦定理（也称做角的余弦定理）指出：

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c\,$

其中 $A$ 和 $B$ 分别为边 $a$ 和 $b$ 所对的角。这个公式可以在与给定三角形相对的极三角形中运用第一定理得到。

证明

第一个证明

设 ${\boldsymbol {u}}$、${\boldsymbol {v}}$ 和 ${\boldsymbol {v}}$ 表示从球体中心到三角形的那些角的单位向量。123