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霍赫希尔德同调

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数学中,霍赫希尔德同调Hochschild homology)是环上结合代数同调论。对某些函子也有一个霍赫希尔德同调。这是以德国数学家格哈德·霍赫希尔德德语Gerhard Hochschild(Gerhard Hochschild)冠名的。

代数的霍赫希尔德同调之定义

k 是一个环,A 是一个结合 k-代数,M 是一个 A-双模。我们记 An Ak 上的 n张量积。给出霍赫希尔德同调的链复形


边缘算子 di 定义为

这里对所有 1 ≤ inai 属于 A,而 mM。如果我们令

b ° b = 0,所以 (Cn(A,M), b) 是一个链复形,叫做霍赫希尔德复形,它的同调是 A 系数取 M霍赫希尔德同调

注释

映射 di 是使 Cn(A,M) 成为 k-模范畴中的单纯对象面映射face map英语face map),也就是一个函子 Δok-mod,这里 Δ单纯范畴simplicial category英语simplicial category)而 k-mod 是 k-模范畴。这里 Δo 是 Δ 的反范畴退化映射degeneracy map英语degeneracy map)由 si(a0 ⊗ ··· ⊗ an) = a0 ⊗ ··· ai ⊗ 1 ⊗ ai+1 ⊗ ··· ⊗ an 定义。霍赫希尔德同调是这个单纯模的同调。

函子的霍赫希尔德同调

单纯圆周 S1 是有限带基点集合范畴 Fin* 中一个单纯对象,即一个函子 ΔoFin*。从而,如果 F 是一个函子 F: Fink-mod,通过将 FS1 复合,我们得到一个单纯模

这个单纯模的同调是函子 F 的霍赫希尔德同调。如上交换代数的霍赫希尔德同调是当 FLoday 函子的特例。

Loday 函子

有限带基点集合范畴的一个骨架由对象

给出,这里 0 是基点,而态射是保持基点的态射。令 A 是一个交换 k-代数,M 是一个对称 A-双模。Loday 函子 L(A,M) 作用在 Fin* 中的对象由

给出。态射

送到态射 f*

这里

bj = 1 如果 f −1(j) = ∅。

代数的霍赫希尔德同调之另一描述

一个交换代数 A 的系数取一个对称 A-双模 M 的霍赫希尔德同调是与复合

相伴的同调,这个定义与上面的定义相同。

参考文献

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