在数学中,隐式方程(英语:implicit equation)是形同
的关系,其中
是多元函数。比如单位圆的隐式方程是
。
隐函数(implicit function)是由隐式方程所隐含定义的函数,比如
是由
确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如
。
隐函数定理说明了隐式方程在什么情况下会确定出隐函数。
例子
反函数
隐函数的一个常见类型是反函数。若
是一个函数,那么
的反函数记作
, 是给出下面方程解的函数
![{\displaystyle x=f(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f267ea7d7336d5211547c3ab4c3711c8c3424b05)
用x表示y。这个解是
![{\displaystyle y=f^{-1}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91c833d5b5563a0d651e66a94201d7fedd30d7b6)
直观地,通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于
的解
![{\displaystyle R(x,y)=x-f(y)=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f2b56b4ef0a536d614fa456e67830e56c9cc069)
例子
- 对数函数
给出方程
或等价的
的解
。 这里
并且
。
- 朗伯W函数则可以解出
的
值。
代数函数
一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量
的代数函数给出一个方程中
的解。
![{\displaystyle a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5922132550029e6833c36afb5aebee4fe4ccebc1)
其中系数
为
的多项式函数。
代数函数在数学分析和代数几何中扮演重要角色,我们再拿单位圆方程式来当作代数函数的范例:
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080500c8f9bdeebb48048ff6de38fe5c119f59d5)
那么
的显函数解显然是:
![{\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0e57ee2b7d2f1398622f9eafe6d9d652a5e907)
但其实我们不一定要把它的显函数解写出来,它也可以直接利用隐函数来表达。
对于y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四则运算和开方运算的显函数解, 但这并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(参见阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:
![{\displaystyle y^{5}+2y^{4}-7y^{3}+3y^{2}-6y-x=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f162fed2b7e133de8e337a799fb156ea5fa81c61)
但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。
隐函数的导数
隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:
方法一
- 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。
示例
把一元隐函数
看作二元函数
,若欲求
,对
取全微分,可得
,经过移项可得
(式中
表示
关于
的偏导数
,以此类推)。
把2元隐函数
看作3元函数
,若欲求
,对
取全微分,可得
。
由于所求为
,令z为常数,即
,经过移项可得
方法二
- 针对1元隐函数,把
看作
的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对
求导,再通过移项求得
的值。
- 针对2元隐函数,把
看作
的函数,利用链式法则在隐函数等式两边分别对
求导,令
,再通过移项求得
的值。
示例
- 针对
:
- 针对
:
- 求
中y对x的导数。
为了方便辨别相应的导数部分,各项都以不同颜色分开(常数则以黑色表示)。
1.两边皆取其相应的导数,得出
2.移项处理。
3.提出导数因子。
4.移项处理。
5.完成。得出其导数为
。
6.选择性步骤:因式分解。
参见