阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现,广泛应用于数论之中,以便用来计算级数。
恒等式
设
为一列由实数或复数,
是一个连续可导函数,则
其中
是部分和
![{\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d913b7e0938cf98ec48f584bbc9a194a6f6b8e)
而且这正是对黎曼-斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。
更一般情况,有
![{\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc49f910dbc239495052da004fc85938061d8d9)
例
欧拉-马斯刻若尼常数
设
,
,则
,恒等式变为
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dedcd6642d2f35cfe26d62a3493d69e86416ec8)
因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。
黎曼ζ函数的表示
设
,
,则
,故
![{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/282937f6e76a5a443327434c54c0a37d585cdcdf)
公式在
时成立,并且可以用来推导狄利克雷定理,其断言,若以
表示黎曼ζ函数,则
在s = 1处有留数为1的简单极点。
黎曼ζ函数的倒数
设
,
为默比乌斯函数,且
,则
,故
为梅滕斯函数,而恒等式变成
![{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db230cfc37567551ec1931a44d0ddc8bd066a80)
上式在
时成立。
参见
参考文献