辐射转移
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辐射转移(英语:radiative transfer)是以电磁辐射形式进行能量转移的物理现象。经由介质传播的辐射会受到吸收、发射和散射的影响。辐射转移方程式就是以数学方式描述这些交互作用。描述辐射转移现象的方程式称为辐射转移方程式(radiative transfer equation,RTE),它被广泛应用在光学、天文物理学、大气科学和遥测上。辐射转移方程式在简单状况下存在解析解,但在实际状况下常包含复杂的多重散射效应,此时必须使用数值方式求解。
辐射场
辐射转移现象所描述的对象为辐射场(radiation field),而辐射场通常表达成谱辐射率(spectral radiance)[注 1]关于位置 、方向 和时间 的的函数,写成 [1]。
谱辐射率 的定义如下。考虑一个位于 的单位面积 ,如果在单位时间 内,有辐射能量 从单位立体角 流经单位面积 ,且频率介于 和 这个区间之内(辐射的极化在这里被忽略),则
- ,
其中 是辐射的单位向量 和单位面积法向的夹角。谱辐射率的单位是以能量/(时间⋅面积⋅立体角⋅频率)表示,在MKS单位制中,就是W·m-2·sr-1·Hz-1。
当一个区域内所有的点在所有方向上某一时刻的 都被指定,就构成一个辐射场。另外,谱辐射率为辐射度量学名词,在传统天文学领域常常称为比强度(specific intensity)。
辐射转移方程式
辐射转移方程式是谱辐射率的微分方程式。先考虑一维的情形,令 是沿着辐射路径传播的距离;假如辐射通过真空,则它的谱辐射率不随着辐射传递而改变,于是有
- 。
现在考虑辐射通介质,则有三种交互作用会导致辐射转移:
所以辐射转移方程式可写为
- 。
此处 是物质的谱发射系数[注 2], 是物质的谱衰减系数[注 3],而且可写成 ,下标里的 a 与 s 分别表示与吸收和散射的成分。在天文物理学中,常引入光深度 的概念;对上式使用 进行变量变换,可得到
- ,
其中 是源函数[2]。当所有频率 的源函数都等于谱辐射率的时候,可得到 ,仿佛辐射是通过真空一样,这就是辐射平衡(radiative equilibrium)条件。
- ,
其中 是光速。等式左边的微分算子用法向导数取代了对 的导数,还纳入了 的时间导数;等式右边第三项考量的是从四面八方散射而来的辐射,故取 的角度平均。
辐射转移方程式的解
求解辐射转移方程式是非常耗力的工作。不过可以依据各种形式的吸收和发射系数,进行适当简化。譬如说,如果将吸收和散射忽略,只考虑物质的发射,则一维辐射转移方程式的通解可以写成:
- ,
这里的 是两个位置 和 中间介质的光深度:
- 。
局部热力平衡
一个特别有用的辐射转移方程式简化是局部热力平衡(local thermodynamic equilibrium,LTE)状态。这个状态中,介质包含许多“局部”达到热平衡的粒子,因此有一个可定义的温度。但辐射场并非处在平衡状态,并且是由大量存在的粒子驱动。在局部热力平衡的介质中,发射系数和吸收系数只是温度和密度函数,而且两者的关系式为
- ,
其中 是温度 时的黑体辐射的谱辐射率(即普朗克黑体辐射定律)。此时,辐射转移方程式的解为
- 。
了解介质的温度和密度剖面曲线之后,就足以计算辐射转移方程式的解。
爱丁顿近似
爱丁顿近似(Eddington approximation)是辐射转移方程式的一种近似解,适用于气象学中的平面平行大气(plane-parallel atmosphere)模型及天文学中的灰色大气模型。在这些模型里,大气的各种热力性质呈现层状(slab-like)分布,换句话说,它们只会在垂直于层状大气的方向上(定义为 轴)发生变化,而不会在平行方向上出现变化。辐射路径 上的变化量与 轴上的变化量的关系为[5]
- 。
我们稍后会解说定义 的作用。由于考虑的是平面平行大气,所以我们预期谱辐射率也只是 和 的线性函数。使用变量变换 ,代入一维辐射转移方程式,则有
另一方面,我们定义谱辐射率 关于 的第 阶动差[6][7][注 4]:
- ,
之所以引入动差的概念,是因为在平面平行大气中,有许多辐射相关的物理量是 的函数,只要使用变量变换 ,就可以在角度积分中简化算式。具体来说,假设 是任意 的函数,则 对于所有方向的立体角积分为[8]
- 。
关于 的前几阶动差是
- ,
- ,
- 。
此处 是辐射强度的角度平均(angle-averaged intensity),它恰好与能量密度 成正比; 是爱丁顿通量(Eddington flux),与辐射通量 成正比; 也与辐射压 成正比。
所谓的爱丁顿近似就是将平面平行大气中的辐射场视为“近似于各向同性”[9]、但是有关于 的一阶异向性,简单来说,就是假定 关于 的泰勒级数只保留到一次项,于是 成为 线性函数[10]:
- 。
将这个函数代入上述动差的公式,可以得到
- 。
于是得到爱丁顿近似的重要结果:
- 。
这等价于各项同性辐射场的重要条件 ,不过差别在于爱丁顿近似适用于稍微具有异向性的辐射场。爱丁顿近似是由天文学家亚瑟·爱丁顿在研究恒星大气时所提出[11][6]。
爱丁顿近似与双流近似不同。双流近似是假设空间分为两块区域,辐射在其中一边固定以某方向传播,在另一边固定以另一方向传播。
参见
注脚
延伸阅读
- Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiative Transfer. New York: Dover. 1960. ISBN 978-0-486-60590-6.
- Lenoble, Jacqueline. Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures. A. Deepak. 1986. ISBN 978-0937194058.
- Grant William, Petty. A First Course in Atmospheric Radiation 2nd edition, illustrated. Madison: Sundog. 2006 [2004]. ISBN 9780972903318.
- Mihalas, Dimitri; Weibel-Mihalas, Barbara. Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. 1984. ISBN 0-486-40925-2.
- Thomas, Gary. E.; Stamnes, Knut. Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean. Cambridge: Cambridge University Press. 1999 [2024-01-09]. ISBN 0-521-40124-0. (原始内容存档于2024-01-09) (英语).
- McLinden, Chris. Radiative Transfer. 1999-07-22. (原始内容存档于2022-01-13) (英语).
参考资料
- ^ Choudhuri, Arnab Rai. Astrophysics for Physicists (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24 [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09) (英语).
- ^ Dullemond, C.P. Chapter 3: Formal transfer equation (PDF). Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course). 2012-07-28 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2023-06-01).
- ^ 放射輸送. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-06-01) (日语).
- ^ McLinden, Chris. The Equation of Radiative Transfer. 1999-07-22. (原始内容存档于2008-03-15) (英语).
- ^ Choudhuri 2010,第36页.
- ^ 6.0 6.1 Huang, S.-S. On the Eddington Approximation. Astrophysical Journal: 841. Bibcode:1968ApJ...152..841H
(英语).
- ^ Owocki, Stan. PHYS-633: Introduction to Stellar Astrophysics (PDF). The Bartol Research Institute. 2010-10-31 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09).
- ^ Choudhuri 2010,第38页.
- ^ エディントン近似. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-03-13) (日语).
- ^ Rybicki, George B.; Lightman, Alan P. Radiative Process in Astrophysics (PDF). Wiley-VCH. 2004: 42 [1979] [2024-01-09]. ISBN 978-0-471-82759-7. (原始内容存档 (PDF)于2023-11-07) (英语).
- ^ Eddington, A.S. The Internal Constitution of the Stars. Nature. 1920, 106: 14–20. doi:10.1038/106014a0 (英语).
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