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赫尔德条件

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数学上,称上的实值函数适合赫尔德条件,或称赫尔德连续,当存在非负常数,使得,

这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。称为赫尔德条件的指数。如果,则函数适合利普希茨条件。如果,则函数不过是有界的。

由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间,在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记为某个欧几里得空间开集,赫尔德空间所包含的函数,是直到n阶微分都适合指数的赫尔德条件。这是拓扑向量空间,可以定义半范数

,下式给出范数

其中涵盖所有多重指标,而

的例子

  • 如果,那么所有赫尔德连续函数都是赫尔德连续的。这也包括了(这里需要集合是有界的),所以所有利普希茨连续函数都是赫尔德连续。
  • 上定义函数不是利普希茨连续;但对赫尔德连续。