数学上,称
上的实值函数
适合赫尔德条件,或称赫尔德连续,当存在非负常数
,
,使得
,
![{\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e3809adb38945b19f148e0a477767b7961226d8)
这条件可以推广至任何两个度量空间之间的函数。
称为赫尔德条件的指数。如果
,则函数适合利普希茨条件。如果
,则函数不过是有界的。
由适合某个赫尔德条件的函数组成的赫尔德空间,在泛函分析有关解偏微分方程的领域有基本地位。记
为某个欧几里得空间的开集,赫尔德空间
所包含的函数,是直到n阶微分都适合指数
的赫尔德条件。这是拓扑向量空间,可以定义半范数:
![{\displaystyle |f|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f3322f7883ff737684a22b744be0cf026eb0c7e)
对
,下式给出范数:
![{\displaystyle \|f\|_{C^{n,\alpha }}=\|f\|_{C^{n}}+\max _{|\beta |=n}|D^{\beta }f|_{C^{0,\alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707994c982c25a914372cb3519bf8b4b9095ccfb)
其中
涵盖所有多重指标,而
![{\displaystyle \|f\|_{C^{n}}=\max _{|\beta |\leq n}\sup _{x\in \Omega }|D^{\beta }f(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17a71ff4d44b13330aaa7cb09e452f98e3fec5f)
的例子
- 如果
,那么所有
赫尔德连续函数都是
赫尔德连续的。这也包括了
(这里需要集合是有界的),所以所有利普希茨连续函数都是
赫尔德连续。
- 在
上定义函数
,
不是利普希茨连续;但对
,
是
赫尔德连续。