根轨迹图上的每一点和极点、零点组成向量的量值会满足量值条件
角度条件(angle condition)是自动控制的根轨迹图中,有关角度的限制条件,根轨迹图中的点和闭回路极点、零点组成向量的角度会满足角度条件。角度条件和量值条件可以完全确定根轨迹图。
令系统的特征方程为
,而
,可改写为以下各因式相乘的形式
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419aa2574762a2cf9152d436f7ff9bfaf8d61bfd)
则角度条件是指
![{\displaystyle \angle ({\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s))=\pi +2k\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4068331f3e9fcdf9f02a1fdd1d4fdecf344a773e)
其中
为整数。
也就是说
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s-b_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s-a_{i})=\pi +2k\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab16fd678fb8e97fdc4f81c941bf22476e07368)
开回路零点到
点角度的和,减去开回路极点到
点角度的和,除
后的余数需等于
。
推导
假设。若将控制方程改为极坐标表示
![{\displaystyle e^{j2\pi }+{\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34a8765091bf4a989ddd2e0830c87391c866fa9f)
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f22d5ecd98dd23f418c622907c02a350496a9b)
其中
为方程式中的解。将
改写为各因式相乘的形式
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419aa2574762a2cf9152d436f7ff9bfaf8d61bfd)
再将因式
及
用向量的形式
及
表示,因此可以改写
如下。
![{\displaystyle {\textbf {G}}(s){\textbf {H}}(s)=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05fed6b86a9b61b75bc83330b155e9f051e0b72b)
简化特征方程式,
![{\displaystyle {\begin{aligned}e^{j(\pi +2k\pi )}&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}\\[6pt]&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m}))},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bd5aa38d41d5f25f4ef7026ae7ad8bced2f7eec)
因此可以得到角度条件:
![{\displaystyle \pi +2k\pi =\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbdd3753f0108ac8c99d50c7e0c7239101a48b0b)
其中
,
![{\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/207772d1b2e55c5825fe7d77756821206346da6e)
为极点1至n的角度,而
![{\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cf53b984fcc14a6faac2d2badb60b20244c221d)
为零点1至m的角度。
也可以用类似的方式推导量值条件。