线性同余方程

在数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如：

$ax\equiv b\ {\pmod {n}}\ \ \ \ (1)$

的方程。此方程有解当且仅当$b$能够被$a$与$n$的最大公约数整除（记作$\gcd(a,n)|b$）。这时，如果$x_{0}$是方程的一个解，那么所有的解可以表示为：

$\{x_{0}+k{\frac {n}{d}}\mid k\in \mathbb {Z} \}.$

其中$d$是$a$与$n$的最大公约数。在模$n$的完全剩余系$\{0,1,\ldots ,n-1\}$中，恰有$d$个解。

例子

• 在方程

$3x\equiv 2{\pmod {6}}$

中，$d=\gcd(3,6)=3$ ，3 不整除 2，因此方程无解。

• 在方程

$5x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(5,6)=1$，1 整除 2，因此方程在$\{0,1,2,3,4,5\}$中恰有一个解：$x=4$。

• 在方程

$4x\equiv 2{\pmod {6}}$

中， $d=\gcd(4,6)=2$，2 整除 2，因此方程在$\{0,1,2,3,4,5\}$中恰有两个解：$x=2$以及$x=5$。

求特殊解

对于线性同余方程

$ax\equiv b{\pmod {n}}$      (1)

若$d=\gcd(a,n)$整除$b$ ，那么${b \over d}$为整数。由裴蜀定理，存在整数对$(r,s)$（可用扩展欧几里得算法求得）使得$ar+sn=d$，因此 $x={rb \over d}$是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于${n \over d}$与$x$同余。

举例来说，方程

$12x\equiv 20{\pmod {28}}$

中 $d=\gcd(12,28)=4$ 。注意到 $4=12\times (-2)+28\times 1$，因此 $x\equiv 5\times (-2)\equiv -10\equiv 4\ {\pmod {7}}$是一个解。对模 28 来说，所有的解就是 $\{4,11,18,25\}$ 。

与线性丢番图方程的关系

考虑$ax\equiv {b}{\pmod {n}}$，其等价于$ax=b+yn$（$y$是整数），也就是线性丢番图方程。运用辗转相除法可以求得该方程的解，有无限多个；但是在原同余方程中，解的个数受到$\gcd(a,n)$限制，因此正如上面例子所示，只能选取前面的几个解。

线性同余方程组

线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如，对于线性同余方程组：

$2x\equiv 2{\pmod {6}}$

$3x\equiv 2{\pmod {7}}$

$2x\equiv 4{\pmod {8}}$

首先求解第一个方程，得到$x\equiv 1{\pmod {3}}$，于是令$x=3k+1$，第二个方程就变为：

$9k\equiv -1{\pmod {7}}$

解得$k\equiv 3{\pmod {7}}$。于是，再令$k=7l+3$，第三个方程就可以化为：

$42l\equiv -16{\pmod {8}}$

解出：$l\equiv 0{\pmod {4}}$，即 $l=4m$。代入原来的表达式就有 $x=21(4m)+10=84m+10$，即解为：

$x\equiv 10{\pmod {84}}$

对于一般情况下是否有解，以及解得情况，则需用到数论中的中国剩余定理。

参见

• 同余方程
• 二次剩余
• 中国剩余定理
• 线性同余方法