科恩系列分布

科恩系列分布（Cohen's class distribution）于1966年由L. Cohen首次提出，且其使用双线性转换亦是此种转换形式中最通用的一种。在几种常见的时频分布中，Cohen's class分布是最强大的转换之一。随着近几年来时频分析发展，应用也越来越多元。Cohen's class分布和短时距傅里叶变换比较起来有较高的清晰度，但也相对的有交叉项(cross-term)的问题，不过可选择适当的遮罩函数(mask function)来将交叉项的问题降到最低。

数学定义

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,$ ，

其中 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi t\eta }\,dt.$ 为模糊函数(Ambiguity Function) ，且$\Phi \left(\eta ,\tau \right)$为一遮罩函数，通常是低通函数用来滤除噪声。

科恩系列分布函数

韦格纳分布(Wigner Distribution Function)

当Cohen's class分布中的$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=1$时，Cohen's class分布会成韦格纳分布(Wigner distribution function)$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau /2)x^{*}(t-\tau /2)e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau$。

利用韦格纳分布对函数$x(t)=exp(j0.015t^{4}+j0.06t^{3}-j0.3t^{2}+jt)$作时频分析的结果可见右图。

锥状分布(Cone-Shape Distribution)

当Cohen's class分布中的$\phi (t,\tau )={\frac {1}{\left|\tau \right|}}exp(-2\pi \alpha \tau ^{2})\Pi ({\frac {t}{\tau }})$，且$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=sinc(\eta \tau )exp((-2\pi \alpha \tau ^{2})$时，

其中$\phi (t,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$，Cohen's class分布会成锥状分布。

右图为不同的$\alpha$值下的锥状分布时频分析图。

乔伊-威廉斯(Choi-Williams)

当Cohen's class分布中的$\Phi \left(\eta ,\tau \right)=exp[-\alpha (\eta \tau )^{2}]$时，Cohen's class分布会成乔伊-威廉斯分布。

右图为不同的$\alpha$值下的锥状分布时频分析图。

科恩系列分布优缺点

优点:

1.可选择适当的遮罩函数来避免掉交叉项问题 。

2.具有高清晰度。

缺点

1. 需要较高的计算量与时间。

2. 缺乏良好的数学特性。

科恩系列分布的实现

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }A_{x}(\eta ,\tau )\Phi (\eta ,\tau )\exp(j2\pi (\eta t-\tau f))\,d\eta \,d\tau ,$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

简化方法一:不是所有的$A_{x}(\eta ,\tau )$的值都要计算出

对$\ \left|\eta \right|>B\$或$\ \left|\tau \right|>C$，若$\Phi (\eta ,\tau )=0$，则$C_{x}(t,f)=\int _{-C}^{C}\int _{-B}^{B}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi u\eta +j2\pi (\eta t-\tau f)}dud\tau d\eta$

简化方法二:注意，$\eta$这个参数和输入及输出都无关

$C_{x}(t,f)=\int _{-C}^{C}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})[\int _{-B}^{B}\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta ]e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$

$=\int _{-C}^{C}\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\Phi (\tau ,t-u)e^{-j2\pi \tau ,f}dud\tau$，其中

$\Phi (\tau ,t-u)=\int _{-B}^{B}\Phi (\eta ,\tau )e^{-j2\pi ,\eta (t-u)}d\eta$，由于$\Phi (\tau ,t-u)$和输入无关，可事先算出，因此可简化成两个积分式。

简化方法三:使用折积方法(convolution)

$C_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\phi (t-u,\tau )due^{-j2\pi f\tau }d\tau$，其中

$\phi (t,\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\eta ,\tau )exp(j2\pi \eta t)d\eta$。对$\left|t\right|>b$或是$\left|\tau \right|>c$，则

$C_{x}(t,f)=\int _{-c}^{c}\int _{t-b}^{t+b}x(u+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(u-{\frac {\tau }{2}})\phi (t-u,\tau )due^{-j2\pi f\tau }d\tau$，上式为一折积式。

模糊函数 (Ambiguity Function)

模糊函数的定义为：

$A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\tfrac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt$

Modulation 和 Time Shifting 对模糊函数的影响

我们来看一下 $x(t)$ 对于模糊函数的影响

(1) 假设 $x_{1}(t)$ 是一个高斯函数: $ae^{-(t-b)^{2}/2c^{2}}$, 其中 $a=1,b=0,c={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha }}}$

那么我们可以得到 $x_{1}(t)=e^{-\alpha \pi t^{2}}$, 代入模糊函数 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)$ 中：

$A_{x_{1}}\left(\eta ,\tau \right)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi {(t+{\tfrac {\tau }{2}})}^{2}}\ e^{-\alpha \pi {(t-{\tfrac {\tau }{2}})}^{2}}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2t^{2}+{\tfrac {\tau }{2}}^{2})}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

(2) 假设 $x_{2}(t)$ 是一个经过 shifting 和 modulation 的高斯函数:

那么我们可以得到 $x_{2}(t)=e^{-\alpha \pi (t-t_{0})^{2}+j2\pi f_{0}t}$, 代入模糊函数 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)$ 中：

${\textstyle A_{x_{2}}\left(\eta ,\tau \right)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi {(t+{\tfrac {\tau }{2}}-t_{0})}^{2}+j2\pi f_{0}(t+{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-\alpha \pi {(t-{\tfrac {\tau }{2}}-t_{0})}^{2}-j2\pi f_{0}(t-{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt}$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2(t-t_{0})^{2}+{\tau /2}^{2})+j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi t\eta }\ dt$

$=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\alpha \pi (2t^{2}+{\tfrac {\tau ^{2}}{2}})}\ e^{j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi t\eta }\ e^{-j2\pi t_{0}\eta }\ dt$

我们可以看到 $|A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)|=|A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)|$,

因此我们可以得出 time shifting $t_{0}$ 和 modulation $f_{0}$ 并不会影响 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

积分后，$A_{x}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha }}}e^{-\pi ({\tfrac {\alpha \tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha }})}e^{j2\pi (f_{0}\tau -t_{0}\eta )}$

所以 $A_{x}\left(\tau ,\eta \right)$ 在 $\tau =0,\eta =0$ 的地方会有最大的 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

交叉项 Cross-term 问题

上述所列出来的是当 $x(t)$ 只有一项而已 (one term only)，如果 $x(t)$ 有两项以上的元素构成 (more than two terms), $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+\cdot \cdot \cdot +x_{n}(t)$，依然会有交叉项 (cross-term) 的问题存在。

假设 $x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$ , 其中

${\begin{cases}x_{1}(t)=e^{-\alpha _{1}\pi (t-t_{1})^{2}+j2\pi f_{1}t}\\x_{2}(t)=e^{-\alpha _{2}\pi (t-t_{2})^{2}+j2\pi f_{2}t}\end{cases}}$

将 $x(t)$ 代入模糊函数 $A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\tfrac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt$ 中：

$A_{x}\left(\eta ,\tau \right)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{1}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{x_{1}}(\tau ,\eta )}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{2}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{x_{2}}(\tau ,\eta )}$

$+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{1}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{2}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )}+\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }x_{2}(t+{\tfrac {\tau }{2}})x_{1}^{*}(t-{\tfrac {\tau }{2}})e^{-j2\pi t\eta }\,dt} _{A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )}$

其中 ${\begin{cases}Auto-terms:\quad A_{x_{1}}(\tau ,\eta ),\ A_{x_{2}}(\tau ,\eta )\\Cross-terms:\ A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta ),\ A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )\end{cases}}$

Auto - terms

$A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{1}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{1}\tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha _{1}}})}\ e^{j2\pi (f_{1}\tau -t_{1}\eta )}$

$A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{2}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{2}\tau ^{2}}{2}}+{\tfrac {\eta ^{2}}{2\alpha _{2}}})}\ e^{j2\pi (f_{2}\tau -t_{2}\eta )}$

Cross - terms

(1) $\alpha _{1}\neq \alpha _{2}$

$A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )={\sqrt {\tfrac {1}{(\alpha _{1}+\alpha _{2})}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\tau -t_{1}+t_{2})^{2}}{4}}\ +\ {\tfrac {[(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\tau -t_{1}+t_{2})-j2(\eta -f_{1}+f_{2})]^{2}}{4(\alpha _{1}+\alpha _{2})}})}\ e^{j2\pi [({\tfrac {f_{1}+f_{2}}{2}})\tau -{\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}}\eta +{\tfrac {(f_{1}-f_{2})(t_{1}+t_{2})}{2}}]}$

$={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{u}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{u}(\tau -t_{d})^{2}}{2}}\ +\ {\tfrac {[\alpha _{d}(\tau -t_{d})-j2(\eta -f_{d})]^{2}}{8\alpha _{u}}})}\ e^{j2\pi (f_{u}\tau -t_{n}\eta +f_{d}t_{u})}$

$A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )=A_{{x_{1}}{x_{2}}}^{*}(-\tau ,-\eta )$

${\begin{cases}t_{u}={\tfrac {t_{1}+t_{2}}{2}},\ f_{u}={\tfrac {f_{1}+f_{2}}{2}},\ \alpha _{u}={\tfrac {\alpha _{1}+\alpha _{2}}{2}}\\t_{d}=t_{1}-t_{2},\ f_{d}=f_{1}-f_{2},\ \alpha _{d}=\alpha _{1}-\alpha _{2}\end{cases}}$

(2) $\alpha _{1}=\alpha _{2}$

$A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )={\sqrt {\tfrac {1}{2\alpha _{u}}}}\ e^{-\pi ({\tfrac {\alpha _{u}(\tau -t_{d})^{2}}{2}}\ +\ {\tfrac {(\eta -f_{d})^{2}}{2\alpha _{u}}})}\ e^{j2\pi (f_{u}\tau -t_{n}\eta +f_{d}t_{u})}$

$A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )=A_{{x_{1}}{x_{2}}}^{*}(-\tau ,-\eta )$

因此，我们目前得到 $A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right),A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)$ (auto-terms) 和 $A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta ),A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )$ (cross-terms) 的公式，我们再仔细的分析 auto-terms 和 cross-terms 分别发生最大值的位置。

Ambiguity Function 分析图

首先，先看 Auto-terms：

$|A_{x_{1}}\left(\tau ,\eta \right)|$最大值发生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

$|A_{x_{2}}\left(\tau ,\eta \right)|$最大值发生在 $\tau =0,\eta =0$的地方

而 Cross-terms：

$|A_{{x_{1}}{x_{2}}}(\tau ,\eta )|$最大值发生在 $\tau =t_{d},\eta =f_{d}$的地方

$|A_{{x_{2}}{x_{1}}}(\tau ,\eta )|$最大值发生在 $\tau =-t_{d},\eta =-f_{d}$的地方

换句话说，如果我们绘制一个 x轴为 $\tau$, y轴为 $\eta$ 的座标图，Auto-terms发生在原点 $(0,0)$ 的位置，而 Cross-terms 则是以原点为对称中心，在第一象限和第三象限的位置，

这也是为什么可以透过一个低通函数来滤除噪声，把主成分 Auto-terms 分离出来，避免交叉项的问题。

与 维格纳分布 Wigner Distribution Function 的不同

维格纳分布是由尤金·维格纳于 1932 年提出的新的时频分析方法，对于非稳态的讯号有不错的表现。

相较于傅里叶转换或是短时距傅里叶转换，维格纳分布能有比较好的解析能力。

维格纳分布的定义为:

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+{\frac {\tau }{2}})x^{*}(t-{\frac {\tau }{2}})e^{-j2\pi \tau f}\,d\tau$

如果我们假设 $x(t)$ 是一个具有弦波特性的讯号, $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$

那么将此 $x(t)$ 代入维格纳分布中，

Wigner Distribution Function 分析图

$W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi f_{0}(t+{\tfrac {\tau }{2}})}e^{-j2\pi f_{0}(t-{\tfrac {\tau }{2}})}\ e^{-j2\pi \tau f}\ d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{j2\pi f_{0}\tau }\ e^{-j2\pi \tau f}\ d\tau$

$=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \tau (f-f_{0})}d\tau$

$=\delta (f-f_{0})$

所以当 $x(t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 时，$W_{x}(t,f)$ 在 $f=f_{0}$ 的地方会有最大值。

换句话说，当 $x(t)$有 modulation $f_{0}$ 或是有 time shifting $t_{0}$ 的情况发生时，会影响维格纳分布 (Wigner Distribution Function) 最大值 $|W_{x}(t,f)|$ 的位置

然而，对于科恩系列分布 (Cohen's class distribution)而言，time shifting $t_{0}$ 和 modulation $f_{0}$ 并不会影响 $|A_{x}\left(\tau ,\eta \right)|$

参考

• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2007.
• Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2018.