处于盒子里的粒子可以自由移动于无法穿越的阱壁内。当阱壁之间距离很微小的时候,可以观察到量子效应。例如,粒子在某位置的概率比在另外位置的概率大,粒子的能级是离散的。
在物理学里,无限深方形阱(infinite square potential),又称为无限深位势阱(infinite potential well),是一个阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大的位势阱。思考一个或多个粒子,永远地束缚于无限深位势阱内,无法逃出。关于这些粒子的量子行为的问题,称为无限深方形阱问题,又称为无限深位势阱问题,盒中粒子问题(particle in a box problem),是一个理论问题。假若,阱内只有一个粒子,则称为单粒子无限深方形阱问题。假若,阱内有两个粒子,则称为双粒子无限深方形阱问题。假若,这两个粒子是完全相同的粒子,则问题又复杂许多,称为双全同粒子无限深方形阱问题。在这里,只讨论单粒子无限深方形阱问题。
在经典力学里,应用牛顿运动定律,可以非常容易地求得无限深方形阱问题的解答。假设粒子与阱壁的碰撞是弹性碰撞,粒子的动能保持不变。则这粒子在方形阱的两阱壁之间来回移动,碰撞来,碰撞去,而速率始终保持不变。在任意时间,粒子在阱内各个位置的概率是均匀的。
在量子力学里,这问题突然变得很有意思。许多基要的概念,在这问题的解析中,呈现了出来。由于问题的理想化与简易化,应用薛定谔方程,可以很容易地,虽然并不是很直觉地,求得解答。满足这薛定谔方程的能量本征函数,是表达粒子量子态的波函数。每一个能量本征函数的能量,只能是离散能级谱中的一个能级。很令人惊讶的是,离散能级谱中最小的能级不是 0 ,而是一个有限值,称为零点能量!这系统的最小能级量子态的能级不是 0 。
更加地,假若测量粒子的位置,则会发现粒子在阱内各个位置的概率大不相同。在有些位置,找到粒子的概率是 0 ,绝对找不到粒子。这些结果与经典力学的答案迥然不同。可是,这些结果所根据的原理,早已在许多精心设计的实验中,广泛地证明是正确无误的。
简介
一个一维无限深方形阱,阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。在量子力学里,无限深方形阱问题是一个简单化的,理想化的问题。无限深方形阱是一个有限尺寸的位势阱,阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。在阱内,粒子感受不到任何作用力,可以自由的移动于阱内。可是,阱壁是无限的高,粒子完全地束缚于阱内。为了删繁就简,先从一维问题开始,研讨粒子只移动于一维空间的问题。之后,可推广至二维与三维空间。
这问题的薛定谔方程解答,明确地呈现出粒子的某些量子行为。这些量子行为与实验的结果相符合;可是,与经典力学的理论预测,有很大的冲突。特别令人注目地是,这量子行为是自然地从边界条件产生的,而不是人为勉强加添造成的。这解答干净俐落地展示出,任何类似波的物理系统,自然地会产生量子行为;与平常的想法恰恰相反,量子行为不是像变魔术一般变出来的。
无限深方形阱问题的粒子的量子行为包括:
- 能量量子化: 表达粒子量子态的能量本征函数,其伴随的能量不是任意值,而只能是离散能级谱中的一个能级。
- 零点能量: 粒子最小的允许能级,称为零点能量,不是 0 。
- 波节点: 恰恰与经典力学相反,薛定谔方程预测会有波节的存在。这意味着在阱内某些地方,找到粒子的概率是零。
不论这问题有多么地简单,由于能够完全地解析其薛定谔方程,这问题可以导致对量子力学有更深刻的理解。实际上,这问题也非常的重要。无限深方形阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统。例如,一个导电电子在一根直的,极细的奈米金属丝内的量子行为[来源请求]。更详细内容,请参阅条目奈米线。
一维阱
在一维无限深方形阱内,粒子的能级与伴随的波函数。
在一维无限深方形阱内,找到能级为
的粒子的概率。
一个粒子束缚于一维无限深方形阱内,阱宽为
。阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向(
方向)。如图示,一维无限深方形阱的本征函数
与本征值
分别为
,
;
其中,
是正值的整数,
是普朗克常数,
是粒子质量。
导引
一维不含时薛定谔方程可以表达为
;
(1)
其中,
是复值的、不含时间的波函数,
是跟位置有关的位势,
是正值的能量。
在阱内,位势
。一维不含时薛定谔方程约化为
。
(2)
这是一个已经经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数
与本征值
是
,
(3a)
;
(3b)
其中,
与
是常数,可以是复值,
是实值的波数(因为
是正值的,所以,
必须是实数。)。
为了求得一般解
的常数
,
,与波数
的值,必须具体表明这问题的边界条件。由于粒子趋向于位势低的地区,位势越高,找到粒子的概率
越小。在
,
两个阱壁位置,位势无限的高,找到粒子的概率是微乎其微:
。所以,边界条件是
。(4)
代入方程 (3a) 。在
,可以得到
。(5)
在
,可以得到
。(6)
方程 (6) 的一个简易解是
。可是,这样,波函数是
。这意味着一个不可能的物理答案:粒子不在阱内!所以,不能接受这简易解。设定
,则
。那么,必须要求
;(7)
其中,整数
。
注意到
状况必须被排除,因为,不能容许波函数是
的物理答案:粒子不在阱内!
为了求得
值,波函数需要归一化,一个粒子必须存在于整个一维空间的某地方:
。
常数
的值为
。(8)
常数
可以是任何复数,只要绝对值等于
;可是,这些不同值的
都对应于同样的物理状态。所以,为了方便计算,选择
。
盒中粒子(黑色粗点)和自由粒子(灰色曲线)的能量都同样地跟波数有关。但是,盒中粒子只能带有离散的能量。
最后,将方程 (7) ,(8) 代入方程 (3a) ,(3b) 。一维无限深方形阱问题的能量本征方程与能量本征值(能级)是
,
。
- 如同前面所述,此问题只容许量子化的能级。由于
,最低的能级,称为零点能量,大于 0 。这答案可以用不确定原理解释。因为粒子束缚于有限的区域,位置变异数有上界。所以,粒子的动量的变异数大于 0 ,粒子必须拥有能量。这能量随着阱宽的减小而增加。
- 很重要的一点是,虽然表达粒子量子态的能量本征函数,其能量只能是离散能级谱中的一个能级。这并不能防止粒子拥有任意的能量,只要这能量大于零点能量。根据态叠加原理,粒子的量子态,可以是几个能量本征函数的叠加。当测量粒子的能量时,测量的答案,只可能是叠加的几个能级中的一个能级。由于测量会造成波函数坍缩,不能对同一个粒子做多次的测量,而指望得到有意义的答案。必须假设准备了许多同样的系统。对每一个系统内的粒子,做同样的测量。虽然,每一次的测量的答案,只可能是叠加的几个能级中的一个能级。所有答案的的平均值,是粒子的能量期望值。
启发导引
能量本征值的公式可以启发地被推导出来。试想,两个阱壁必定是波函数的波节。这意味着,阱宽必须刚好能够容纳半个波长的整数倍:
;
其中,
是波长,
是正值的整数。
应用德布罗意假说,粒子的动量
是
。
代入联系能量与动量的经典公式,则可以得到系统的能量本征值。
。
二维阱
二维无限深方形阱的波函数.,
。
一个粒子束缚于二维无限深方形阱内,阱宽在
与
方向,分别为
,
。阱内位势为 0 ,阱外位势为无限大。粒子只能移动于束缚的方向(
与
方向)。二维无限深方形阱的本征函数
与本征值
分别为
![{\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}={\sqrt {\frac {4}{L_{x}L_{y}}}}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L_{x}}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L_{y}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a44ccb5fe54865c98500eea16ab35973da86d7)
![{\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {h^{2}}{8m}}\left[\left({\frac {n_{x}}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}}{L_{y}}}\right)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109b9baed13fe1b471fae6a359d6ab097b8ac3ba)
其中,
与
是正值的整数。
导引
在这二维的问题里,粒子束缚于一个二维位势阱内,在阱内,二维的解答方程与方程 (2) 类似,是一个二阶偏微分方程:
。
应用分离变数法 。首先,假设
是两个不相关的函数
与
的乘积,
只含有变数
,
只含有变数
:
。
将
的假设方程代入二维方程,则可得到
。
将这方程两边都除以
,则可得到
。
由于方程左边圆括号内的两个项目
、
分别只跟
、
有关,两个项目分别都必须等于常数:
,
;
其中,
与
都是常数,
。
这样,可以得到两个约化的一维薛定谔方程:
,
。
前面,已经解析了同样形式的一维薛定谔方程(方程 (2) )。将那里的答案移接到这里,
,
;
其中,整数
,
。
将两个方程合并,可以得到解答:
,
。
三维阱
同样地,应用分离变数法于三维阱问题,可以得到能量本征函数与能量本征值:
,
;
其中,
。
当两个以上的阱宽相等的时候,对应于同样的总能量,会存在有多个不同的波函数。这状况称为简并,是由物理系统的对称性造成的。例如,假设 一个三维阱的
,则
,
,
的波函数与
,
,
的波函数,两个波函数的能量相等。由于在这物理系统里,有两个阱宽相等,这物理系统对称于绕着 z-轴的
旋转。
参考文献
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
参阅