沃利斯乘积,又称沃利斯公式,由数学家约翰·沃利斯在1655年时发现。
当时证明
今日多数的微积分教科书透过比较在n是奇数或是偶数,甚至是接近无穷大的情况下,发现即使将n增加一就会发生不一样的情形。在那时,微积分尚未存在,而且有关数学收敛的分析工具也还未俱全,所以完成这证明较现今有相当的难度。从现在来看,从欧拉公式中的正弦展开式得到此乘积是必然的结果。
在x = π/2时
严谨证明
先考虑不定积分有
故
对整数m
另一方面
两式相除得
故
又因为
由夹挤定理知
故
寻找 ζ(2)
我们可将上述的正弦乘积式化为泰勒级数: