概周期函数
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在数学中,概周期函数(或殆周期函数)是一类有近似于周期性质的函数,是连续周期函数的推广。不同的周期函数由于周期不尽相同,其和、差或乘积不一定再是周期函数。概周期函数尽管未必有严格的周期性,但可拥有一些比周期函数更好的性质。这一概念首先于1925年被丹麦数学家哈那德·玻尔引进,后来赫曼·外尔、贝西科维奇等人也有研究和推广[1]。贝西科维奇因概周期函数方面的贡献获得了1931年剑桥大学的亚当斯奖[2]。
定义
概周期函数有若干个等价定义。根据哈那德·玻尔引进的分析学上的定义,一个定义域在实数域上的连续函数 如果满足:对任意正实数,都存在实数,使得任意长度为 的区间里至少存在一个数,使得对于任意的,都有:
在高维欧几里得空间中,也可以定义类似的概周期向量函数。
按照定义,所有周期函数都是概周期函数。
值域在复平面上的概周期函数与三角多项式函数有密切关系。哈那德·玻尔首先注意到这类型的函数是在研究有限项狄利克雷级数的时候。当把黎曼ζ函数:ζ(s) 截出有限项后,得到的是一些形如
的项。其中的。如果只考虑复平面上的一条竖直的直线(也就是说固定s 的实数部分,而实数 在正负无穷大之间变动),那么实际上每一项变成:
如果只观察有限个这样的函数的和(以避免 时的解析开拓的问题),那么由于对不同的n,是线性无关的,这个和不再是一个周期函数。
在相关研究中,哈那德·玻尔开始注意形如:
的三角多项式函数。它是若干个周期互不相同的周期函数的和。于是概周期函数的另一个定义出现了:如果对每个,都存在三角多项式函数:,使得对于任意的,都有:
可以证明,这个定义与第一个定义是等价的[1]。
例子
考虑若干三角多项式函数:
其中 是复数。每一个 都是周期函数,因此有限个 的和仍然是概周期函数。然而,对于某些和函数,比如说:
不是周期函数,但仍然是概周期函数。
性质
- 如同周期函数一样,任何概周期函数都是有界的, 且一致连续。
- 如果 是概周期函数,那么对于任意实数,、、、 也是概周期函数。
- 如果 和 都是概周期函数,那么、 和 都是概周期函数。
- 如果 是概周期函数,是 的值域到上的一致连续函数, 则也是概周期函数。
- 如果概周期函数的序列在实轴上一致收敛于函数 ,则 也是概周期函数。
- 如果 是概周期函数, 则 为概周期函数的充分必要条件是 的导函数 一致连续。
- 如果 是概周期函数,,则 为概周期函数的充要条件为 有界[3][1]。
参看
参考书籍
- ^ 1.0 1.1 1.2 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3.
- ^ A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press
- ^ 3.0 3.1 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质 (PDF). 《工科数学》. 1997,. 第13卷第2期 [2010-03-18]. (原始内容 (PDF)存档于2016-03-04).
- A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
- Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156
- H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
- H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
- Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4