E1函数(顶)和Ei函数(底)。
在数学中,指数积分是函数的一种,它不能表示为初等函数。
定义
对于实数x,指数积分Ei(x)可以定义为:
![{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69af12b6de31d6b84a9df96cf2446bab57b4dbef)
其中
为指数函数。以上的定义可以用于正数x,但这个积分必须用柯西主值的概念来理解。
对于自变量是复数的情形,这个定义就变得模棱两可了[1]。为了避免歧义,我们使用以下的记法:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2964eaa4f7b0688ab772fed223b0a44f110ff7b4)
当自变量的实数部分为正时,可以转换为:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430753972a32191c6393a66fc66fd8d447a25383)
Ei与E1有以下关系:
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29ef90ea63517c4279ad3fe86c7ecb91c56480d)
![{\displaystyle -{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195a37c073b145a458772db535b0382e3f7fbc0b)
性质
收敛级数
指数积分可以用以下的收敛级数来表示:
![{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79bd3201efa1a0239b76f339d894878e955cae53)
![{\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9389bb55bfe0a3d75190c6d90d6bb02b52f03bf)
其中
是欧拉-马歇罗尼常数。这个级数在自变量为任何复数时都是收敛的,但Ei的定义则需要
。
渐近(发散)级数
截断和中取
项时,渐近展开式的相对误差
自变量的值较大时,用以上的收敛级数来计算指数积分是困难的。在这种情况下,我们可以使用发散(或渐近)级数:
![{\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63236aa84be6c9b307a30ee942c138bcce710822)
这个截断和可以用来计算
时函数的值。级数中的项数越多,自变量的实数部分就应该越大。
图中描述了以上估计的相对误差。
指数和对数的表现
在自变量较大时的表现类似指数函数,自变量较小时类似对数函数。
是位于以下两个函数之间的:
![{\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b75483d6ea380ef0743ab0b09ac7307d8e3357f)
这个不等式的左端在图中用蓝色曲线来表示,中间的黑色曲线是
,不等式的右端用红色曲线来表示。
与其它函数的关系
指数积分与对数积分li(x)有密切的关系:
- li(x) = Ei (ln (x)) 对于所有正实数x ≠ 1。
另外一个有密切关系的函数,具有不同的积分限:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f416dafcbb5aaaba2430d0fe0c6e2db7bd5c487d)
这个函数可以视为把指数积分延伸到负数:
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da234347cf20d1d40991eed1d8672eb4a6acbc4)
我们可以把两个函数都用整函数来表示:
![{\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1f3d0bf2566185f5f6df68d03290b03a90ab868)
利用这个函数,我们可以用对数来定义:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00f2f962f582ed017e130b392027f5e9bccc0c0b)
以及
![{\displaystyle {\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293d2f7599cf08be9eaa81836edfdfc60d2de1a5)
指数积分还可以推广为:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/987fa3550fe1772bfab4ca52897c9edde312223a)
它是不完全伽玛函数的一个特例:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e1e7498e206ca4b6bbacffd318ce8b820c91986)
这个推广的形式有时成为Misra函数
,定义为:
![{\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72af93cc6b119dfbc05ac6e3b90035ed4995b47c)
函数
与
的导数有以下简单的关系:
![{\displaystyle {{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7a3dd7e597d4c6e89c4a1028138c3374405a55)
然而,这里假设了
是整数;复数
的推广还没有在文献中报导,虽然这种推广是有可能的。在 y=2x的图形中,其导函数在任意x值所对应的y值为原函数的0.693倍。
复数变量指数积分
![](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/E1ofImaginaryArgument.png/200px-E1ofImaginaryArgument.png)
versus
, real part(black) and imaginary part (red).
从以下的表示法中
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfca80477afcac0578ac572e20712ef9e1879c14)
可以看出指数积分与正弦积分(Si)和余弦积分(Ci)之间的关系:
![{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e71d1eb13c5c79582a2a0c7ae3989ba5e167528)
图中的黑色和红色曲线分别描述了
的实数和虚数部分。
参考文献
- R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
- S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover
外部链接