图 1:钢的临界应力与细长比,E = 200 GPa,降伏强度 = 240 MPa。
尤拉临界负载是细长柱体突然弯曲或挫曲时的压缩负载。公式如下: [1]
![{\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6860ead0e30317b12c1c35e4cb322c797166b3bb)
其中
, 尤拉临界负载(柱上的纵向压缩负载),
,柱体材料的杨氏模数,
,柱体横截面的最小面积惯性矩,
, 柱体的无支撑长度,
,柱体有效长度系数
这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推导出来。临界负载是不会引起横向挠曲(挫曲)的最大负载。对于小于临界负载的应力,柱将保持笔直。对于大于临界负载的应力,柱将有横向形变产生。恰等于临界负载的应力,使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着负载增加超过临界负载,横向形变量会增加,直到它可能在其他模式下失效,例如材料降伏。超出临界负载的应力不在本文的讨论范围。
大约在1900年, J. B. Johnson 提出在低细长比下,应该使用不同的方程式。
模型假设
图 2:尤拉临界负载的柱体有效长度系数。在实际设计时,建议增加为如上图所示的系数。
在推导尤拉公式时所做的假设如下: [2]
- 柱体材料均质且具等向性。
- 柱体受到的压缩负载仅有轴向。
- 柱子没有初始应力。
- 柱子的重量被忽略。
- 柱子最初是直的(轴向负载没有偏移)。
- 销接头无摩擦(无力矩约束),若是固定端则无刚性(无旋转偏转)。
- 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改变的。
- 与弯曲应力相比,直接应力非常小(材料仅在弹性应变范围内被压缩)。
- 细长比很高,与柱的横截面尺寸相比,柱的长度非常长。
- 该柱仅因挫曲而失效,即柱中的压应力不超过降伏强度
(见图1):
![{\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326f9fef095e2c76bed75703cf8291e2f8f8f8c2)
其中:
, 细长比,
,有效长度,
,回转半径,
, 面积惯性矩,
, 横截面面积。
对于细长柱体,临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下,坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力,即它会在挫曲之前就先降伏。
数学推导
销接端点的柱体
以下模型适用于两端为简支承的柱子(
)。
首先,我们要注意销接端没有反作用力,所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性(所以应力应该在相同的方向)和力矩平衡(所以应力应该在相反的方向)得到。
使用图 3 右侧的自由体图,并将点 x 的力矩加总:
![{\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee9234dc55c68dd056549af3eefa7d4be008492)
其中 w 是横向变形。
根据尤拉-伯努利梁理论,梁的挠度与其弯矩的关系式为:
,
图 3:挫曲负载作用在两端为销接点的柱体
让
, 所以:
![{\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c6f473c0e000639744e15622a03fb16a42a4860)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472e137dd35e95e1f85b9603e191c06d6f2d6e7b)
我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。
该方程的通解为:
, 这里的
和
常数由边界条件所定义,它们是:
- 左端点固定
![{\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5704b7df5589bb9469f5cf41c924735c1e4065e0)
- 右端点固定
![{\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c09e99599e26bc7cdda7266d0e5708b6839b3ea6)
图 4:前三种挫曲负载模态
如果
,没有弯矩存在,我们得到了平凡解
。
但是,从其他解
我们得到
, 其中
再加上前述的
,各种临界负载是:
, 为了![{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a19cb2cfd4f9ebdbc8e5cbb9b92ecb9ace85cab)
并取决于
的值 ,产生不同的挫曲模态[3] ,如图 4 所示。 n=0 时的负载和模态是非挫曲模态。
理论上任何挫曲模态都有可能出现,但在缓慢施加负载的情况下,可能只会产生第一种模态形状。
因此,销端柱的尤拉临界负载为:
![{\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b7179f6c9b349f9a8df1179a4432549e9a43b14)
得到柱的第一模态挫曲形状为:
.
通常的做法
图 5:作用在柱上的力与力矩。
[4]梁轴向的微分方程:
![{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/105a17c2ad54d4c8acf138c258be28ad3e89b304)
对于仅具有轴向负载的柱,横向负载
消失,再代入
可得到:
![{\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09aa1dffac469007d599713fdcb31ad8681b3dda)
这是一个齐次四阶微分方程,其通解为
![{\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477c8ed03b89cde7f58529c7bde9a47f04126be4)
四个常数
由两端边界条件所决定的
来得到。有以下三种情况:
- 销接端 (Pinned end):
和![{\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40010025ee578deb3d89965e6066943aa85844af)
- 固定端 (Fixed end):
和![{\displaystyle {dw \over dx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4aedf38b5ec48c32db6678348e5bad5093f531)
- 自由端 (Free end):
和![{\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eebec3cf9c4a0d0eb155a1b10544284c960217b2)
对于这些边界条件的每一种组合,都会得到一个特征值问题。借由解决这些问题,我们得到了图 2 中所示每种条件下的尤拉临界负载值。
参见
参考资料
- ^ Column Buckling | MechaniCalc. mechanicalc.com. [2020-12-27]. (原始内容存档于2022-05-12).
- ^ Twelve Viva Questions on Columns and Struts. Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. (原始内容存档于2021-10-08) (英语).
- ^ Buckling of Columns (PDF). (原始内容 (PDF)存档于2015-05-28).
- ^ Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.