奇点 (几何)
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曲线上的奇点(英语:Singular point)是指曲线上参数无法光滑变化的部分。具体定义要视曲线的具体种类而定。
平面上的代数曲线
平面上的代数曲线可以定义为满足方程f(x, y)=0的点的集合,其中f是多项式函数。
若f展开为以下的形式
且若原点(0, 0)在曲线上,则a0=0。若b1≠0,则隐函数定理可确定有一光滑函数h,使得在原点附近y=h(x)会成立。同様的,若b0≠0,则在原点附近曲线会接近x=k(y) 。上述任何一个情形下,都有一个光滑映射从R映射到原点附近曲线所在的平面,注意在原点处
因此只要任何一个f的偏导数不为零,曲线即为非奇异。曲线的奇点出现在二个偏导数皆为零的位置。
非奇点
假设曲线通过原点,原点附近可近似为y=mx,则f可以写为如下的式子
若b0+mb1不为零,则f=0在x=0处有阶数为1的解。若b0+mb1=0 ,则f=0在x=0处有阶数为2(或更高)的解,且y=mx及b0x+b1y=0都会是曲线的切线。此时,若if c0+2mc1+c2m2不为零,则曲线在和y=mx接触处有二重点(point of double)。若x2, c0+2mc1+c2m2的系数为零,但x3系数不为零,则原点是曲线的拐点。若x2和x3的系数都是零,则原点称为曲线的波动点(point of undulation)。上述分析可以应用在曲线上的任意点,只要平移座标轴,使要分析的点变成原点即可[1]。
二重点
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若在上述说明中,b0和b1都是零,但至少c0、c1和c2中有一个不为零,则原点即为曲线的二重点。再令y=mx,则f可写成
二重点可以依以下方程的解来分类: c0+2mc1+m2c2=0.
叉点
若c0+2mc1+m2c2=0有二个m的实根,也就是c0c2−c12<0,则原点为叉点。曲线在叉点和自身相交,二条切线对应c0+2mc1+m2c2=0的二个解。原点为函数f的鞍点。
孤立点
若c0+2mc1+m2c2=0没有m的实根,也就是c0c2−c12>0,则原点为孤立点。在实数平面上,原点为曲线的一个孤点,不过若当做复数曲线来考虑,c0+2mc1+m2c2=0的二部分的解之间有复数的切线相连。此情形下函数在原点处有极值。
尖点
若c0+2mc1+m2c2=0有一个m的二重根,也就是c0c2−c12=0,原点称为尖点。此时曲线在原点变动方向,产生一个尖锐的图形。曲线在原点处有单一的切线,但是可视为二条恰好重合的切线。
进一步的分类
node一词是用来表示叉点或是孤立点,也就是不为尖点的二重点。曲线中node数量及尖点数量是二个曲线的不变量,在普吕克公式中有用到。
若c0+2mc1+m2c2=0的一个解也是d0+3md1+3m2d2+m3d3=0的解,则曲线对应的分支在原点为拐点,此时原点称为flecnode。若两条切线都有此性质,则c0+2mc1+m2c2为d0+3md1+3m2d2+m3d3的因式,原点称为biflecnode[2]。
三重点
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若f中所有小于k次方的系数都为零,且至少有一项k次方的系数不为0,此曲线即有k阶的多重点。一般而言曲线在原点处有k条切线,不过有些切线可能会是虚数[3]。
以参数式表示的曲线
R2平面中的参数曲线定义为由R→R2函数 g的像,函数g(t) = (g1(t),g2(t))。其中的奇点为满足以下条件的点
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许多曲线可以用方程式来定义,也可以用参数方程定义。代数曲线x3−y2 = 0会有一尖点,若改用参数式g(t) = (t2,t3),尖点仍然存在。
不过有时奇点的数量可能会随定义方式而不同。例如y2−x3−x2 = 0在原点有一奇点,为叉点,但若用参数式g(t) = (t2−1,t(t2−1)),因为g′(t) 在任意位置都不为零,因此同一曲线的参数式中,不存在奇点。
在将曲线用参数方程表示时,参数的选择会影响一些相关的分析。例如直线y = 0,本身不存在奇点,若用参数方程g(t) = (t,0),也没有奇,但若用参数方程g(t) = (t3,0)表示,在原点处就会有一个奇点。因此参数式奇点的专业用语应该称为光滑映射的奇点(singular points of a smooth mapping)比较合适。
- 任意Rn内的闭集都可以表示为某一光滑函数f:Rn→R,其方程f−1(0)的解集合。
上述的定义可以延伸到用隐函数定义的曲线,定义方式为f−1(0)的解集合,而f为光滑函数,因此不一定只考虑代数簇,可以延伸到更高维度的曲线。
任何参数化的曲线可以定义为隐函数的曲线,曲线奇点的分类也会在代数簇上的奇点的分类中加以研究。
奇点的种类
以下是一些可能的奇点:
参考资料
- ^ Hilton Chapter II §1
- ^ Hilton Chapter II §2
- ^ Hilton Chapter II §3
- ^ Brooker and Larden, Differential Germs and Catastrophes, London Mathematical Society. Lecture Notes 17. Cambridge, (1975)
- ^ Bruce and Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9, ISBN 0-521-42999-4 (paperback)
- Hilton, Harold. Chapter II: Singular Points. Plane Algebraic Curves. Oxford. 1920.