在抽象代数中,域(德语:Körper,英语:Field)是一种具有加法跟乘法的集合(代数结构),且其加法跟乘法运算就如同普通的有理数还有实数。事实上,域正是数域以及四则运算的推广,所以被广泛运用在代数、数论等数学领域中。
域是环的一种。但区别在于域要求它的非零元素可以做除法,且域的乘法有交换律。
最有名的域结构的例子就是有理数域、实数域还有复数域。还有其他形式的域,例如有理函数域、代数函数域、代数数域、p进数域等,都很常在数学的领域中被使用或是研究,特别是数论或是代数几何。此外还有一些密码学上的安全协定都是依靠着有限域。
在两个域中的关系被表示成域扩张的观念。Galois理论,由ÉvaristeGalois在1830年代提出,致力于理解域扩展的对称性。其中Galois理论还有其他结果,解决了不能用尺规作图做出三等份角以及化方为圆的问题。此外,还解决了五次方程不能有公式解的问题。
正式定义
给定集合
,它具有了以下两种二元运算:
(其中
惯例上简记为
)
(其中
惯例上简记为
或
甚至是
)
满足:
为交换群,且其单位元为
。
为交换群。
- 分配律:对所有
,
且
。
那称“
为域”,当二元运算的符号不重要时,亦可将
简记为
。
惯用符号与称呼
(1)域的代号:
有时会基于德语 Körper ,以字母
代称域,但也会基于英语 Field 以
代称。
(2)加法与乘法:
习惯上,
被称为乘法,
的单位元会记为
,并称为
的乘法单位元。
类似地,
被称为加法,
被称为域的加法单位元。所以在省略括弧后,仍依照先乘后加的方式阅读。
(3)减法与除法:
对于任意
,会依据群的习惯,将
的加法逆元素记做
,并将
简记为
,并可昵称为减法。
类似地,若
,
的乘法逆元素记做
,并将
简记为
,并可昵称为除法。
基本性质
证明
根据分配律和加法单位元的性质会有
![{\displaystyle a\times 0_{k}=a\times (0_{K}+0_{k})=a\times 0_{K}+a\times 0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c44d637450ad60731ebe4e315713cf434c9c94b)
![{\displaystyle 0_{k}\times a=(0_{K}+0_{k})\times a=0_{k}\times a+0_{k}\times a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3907d709fc1aac0a937c2ed2d13bb7774950b59)
这样的话,根据加法结合律还有加法单位元的性质有
故得证。
以上的定理也证明了,只要
为交换群且有分配律,就足以决定
相关乘法的值。所以正式定义中把
排除在乘法的交换群之外是不会有问题的。也就是说
系理 (乘法结合律) —
为域,那对任意
有
![{\displaystyle a\times (b\times c)=(a\times b)\times c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20b7d816c39d628055d79d267304ef423ee1df8)
证明
根据乘法交换律跟分配律有
这样根据定理(1)和加法交换律就有
![{\displaystyle (a\times b)+[(-a)\times b]=[(-a)\times b]+(a\times b)=0_{K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d775d6fcaa4642fcff12a544ea5626352cd60e)
所以
![{\displaystyle -(a\times b)=[(-a)\times b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dc3913794d881f09f968f076999e26fcd801a49)
再考虑到乘法的交换律有
![{\displaystyle -(a\times b)=-(b\times a)=(-b)\times a=a\times (-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c25b6466d64ac9d6ea8ac5b58719801c1b4386c)
故得证。
证明
根据乘法的结合律和交换律,还有乘法单位元的性质会有
故得证。
证明
如果
,那对任意
都有
,所以以下只考虑
状况。
假设存在
满足
和
,但同时
,这样根据定理(1)和(3)有
这显然是矛盾的,所以根据反证法和德摩根定理,对所有的
,只能“
其中一者为
”或“
”,也就等价于:
- “对所有
,若
则
其中一者为
。”
故得证。
- 域F中的所有非零元素的集合(一般记作F×)是一个关于乘法的阿贝尔群。F×的每个有限子群都是循环群。
- 若存在正整数n使得0 = 1 + 1 + ... + 1(n个1),那么这样的n中最小的一个称为这个域的特征,特征要么是一个素数p,要么是0(表示这样的n不存在)。此时
中最小的子域分别是
或有限域
,称之为
的素域。
- 一个交换环是域当且仅当它的理想只有自身和零理想。
- 在选择公理成立的假设下,对每个域F都存在着唯一的一个域G(在同构意义上),G包含F,G是F的代数扩张,并且G代数封闭。G称作由F确定的代数闭包。在很多情况下上述的同构并不是唯一的,因此又说G是F的一个代数闭包。
例子
- 许多常见的数域都是域。比如说,全体复数的集合
与其加法和乘法构成一个域。全体有理数的集合
与其加法和乘法也是一个域,它是
的子域,并且不包含更小的子域了。
- 代数数域:代数数域是有理数域
的有限扩域,也就是说代数数域是
上的有限维向量空间。代数数域都同构于
的子域,并且这个同构保持
不变,即这个同构把每个有理数都映射到它自身。代数数域是代数数论研究的对象。
- 代数数构成的域:所有的代数数的集合对于加法和乘法构成一个域,记作
。
是有理数域
的代数闭包(见下)。
是特征为零的代数封闭的域的一个例子。
- 全体实数的集合
对于加法和乘法构成一个域。实数域是复数域
的子域,也是一个有序域。后者使得实数域上能够建立起微积分理论。
- 所有的实代数数的集合也构成一个域,它是
的一个子域
- 任意一个有限域的元素个数是一个素数q的乘方,一般记作Fq,就是所谓的伽罗瓦域。任意一个元素个数是素数q的域都同构于Z/pZ = {0, 1, ..., p − 1}。令p = 2,就得到最小的域:F2。F2只含有两个元素0和1,运算法则如下:
-
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
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1
|
0
|
|
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
|
- 设E和F是两个域,E是F的子域,则F是E的 扩域。设x是F中的一个元素,则存在着一个最小的同时包含E和x的F的子域,记作E (x),E (x)称作E在F中关于 x的单扩张。比如说,复数域
就是实数域
在
中关于虚数单位i的单扩张
- 每一个有乘法么元的环R都对应着一个包含它的域,称为它的分式域,记作K(R)。分式域的具体构造方法是定义类似于最简分数的等价类,再将环“嵌入”其中(详见分式域)。可以证明,K(R)是包含R的“最小”的域。
- 设F是一个域,定义F (X)是所有以F中元素为系数的分式的集合,则F (X)是F的一个扩域。F (X)是F上的一个无穷维的向量空间,这是域的超越扩张的一个例子。
- 设F是一个域,p(X)是多项式环F[X]上的一个不可约多项式,则商环F[X]/<p(X)>是一个域。其中的<p(X)>表示由p(X)生成的理想。举例来说,R[X]/<X2 + 1>是一个域(同构于复数域
)。可以证明,F的所有单扩张都同构于此类形式的域。
- 若V是域F上的一个代数簇,则所有V → F 的有理函数构成一个域,称为V的函数域。
- 若S是一个黎曼曲面,则全体S → C 的亚纯函数构成一个域。
- 由于序数的类不是集合,因此在其上定义的尼姆数不能构成真正的域。但它满足域的所有条件,且其任意封闭子集(如小于
的所有自然数构成的子集)都是域。
有限域
有限域是一个域有着有限多个元素,其元素个数也跟域的阶数相同,按照域的定义,可以知道
为最小的有限域,因为根据定义,一个域至少包含两个元素
。
通常来说,最简单的素数阶域,就是
,此处
为素数,在这个域上的加法与乘法等同于在整数
上的运算,然后除以
,取它的余数。这个运算精确的建构了一个域,通常我们将这个域记作
。要注意的是
,当n为合成数时并不是一个有限域,例如在
中
,因此
不能形成群。
如果我们将向量空间
,则我们将V称作有限域向量空间,其中
,可知这个向量空间中,有
个元素。
如果我们将有限域放入矩阵,也就是
,则此矩阵的元素有
历史
历史上,三个代数中的学科导引到了域的概念:第一个是解多项式方程的问题,第二个是代数数论,第三个则是代数几何的问题。域的概念始于1770年,由拉格朗日所提出。拉格朗日他观察到关于三次方程的根x1, x2, x3的置换,在以下的表达
(x1 + ωx2 + ω2x3)3
(其中ω是三次方程的单位根)只产生两个值。在这方向上,拉格朗日概念上的解释了由 希皮奥内·德尔·费罗 和 弗朗索瓦·韦达 的经典解法,其解法借由简化三次方程关于未知 x 到一个 x3的二次方程。四次方程上也和三次方程一样有相似的观察,拉格朗日因此连结的关于域的概念还有群的概念。数学家范德蒙也同样在1770年有着更全面的延伸。
建构域
伽罗瓦理论
请参见伽罗瓦理论
域的不变量
应用
参见
参考文献