域上的代数

体上的代数（algebra over a field）或体代数，一般可简称为代数，是在向量空间的基础上定义了一个双线性的乘法运算而构成的代数结构。^[1]根据此乘法是否具有结合律，可以进一步地分成结合代数以及非结合代数两类。如果乘法单位元包含在此代数里，则称为单位代数。

若没有特别指明，通常假设此代数为结合代数。而在一些代数几何的讨论框架下，会假设此代数是、单位结合且交换。在更一般的情况下，会讨论将向量空间换成环所形成的代数，称为环上的代数（algebra over a ring）。

需要注意的是这里的双线性乘法运算跟向量空间上的双线性形式是不一样的。具体而言，双线性乘法运算是一个在向量空间里的向量，而双线性形式所给出的是在体K上的标量。

定义

例子


代数	向量空间	双线性乘法	结合律	交换律
复数	$\mathbb {R} ^{2}$	复数里的乘法 $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)$	有	有
三围向量的外积	$\mathbb {R} ^{3}$	外积 ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$	无	无
四元数s	$\mathbb {R} ^{4}$	Hamilton product $(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})$	有	无
多项式	$\mathbb {R} [X]$	多项式乘法	有	有
方块矩阵	$\mathbb {R} ^{n\times n}$	矩阵乘法	有	无

定义

令 $K$ 为一个体, $A$ 为 $K$ 上的向量空间，且有二元乘法，记为 $\cdot :A\times A\to A\ ;\ (x,y)\mapsto A$ 则 $A$ 是一个 $K$ -代数（ $K$ -algebra）如果满足以下几点：

对于所有 $A$ 中的向量 $x, y, z$ ，所有 $K$ 中的标量 $a$ , $b$ ，有

右分配律： $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
左分配律： $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
与标量相容： $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$

此时的 $K$ 称为 $A$ 的基体（base field）。此外，当 $A$ 有交换律时，左分配律等价于右分配律。

基本概念

代数上的同态

给定 $K$ -代数 $A$ 以及 $B$ ,两个 $K$ -algebras 上的同态（ $K$ -algebra homomorphism）是一个 $K$ -线性映射 $f : A \to B$ 使得对于所有 $A$ 中的 $x, y$ ，都有 $f (xy) = f (x) f (y)$ 。若 $A$ 、 $B$ 都是单位代数，则满足 $f (1 A) = 1 B$ 的同态称为单位同态（unital homomorphism）。所有 $K$ -algebras 上的同态所构成的空间通常写成：

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

$K$ -algebras 上的同构（ $K$ -algebra isomorphism）是双射的 $K$ -algebras 上的同态。

子代数

一个 $K$ -代数的子代数是一个线性子空间，且具有乘法封闭性（任何两个元素的乘积仍然在这个子空间内）。换句话说，代数的一个子代数是一个在加法、乘法和标量乘法下闭合的非空子集。

形式上，给定 $K$ -代数 $A$ ， $L\subseteq A$ 为一子集，且满足以下条件

$\forall x,y\in L\ ,\ \forall c\in K\quad x\cdot y,\ y\cdot x,\ cx\in L$ ，则称L 是一个子代数。一个例子是考虑 $\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ ，则 $\mathbb {R}$ 形成一个子代数。

理想

一个 $K$ 代数的左理想是一个线性子空间，满足以下性质：子空间中的任何元素与代数中的任何元素在左侧相乘后仍在这个子空间内（左乘的封闭性）。用符号来表示， $K$ -代数 A 的一个子集 L 是一个左理想，如果对于 L 中的所有元素 x 和 y，代数 A 中的元素 z 和 K 中的标量 c，满足以下三点：

x+y 在 L 中（L 在加法下闭合），
cx 在 L 中（L 在标量乘法下闭合），
z⋅x 在 L 中（L 在左乘任意元素下闭合）。

若将（3）替换为 x⋅z 在 L 中，则得到右理想。双边理想是同时是左理想和右理想的子集。理想这个术语通常指双边理想，而当代数是交换代数时，左理想、右理想、双边理想三者等价。条件（1）和（2）一起等价于 L 是 A 的线性子空间。根据条件（3），每个左理想或右理想都是子代数。这个定义与环的理想的定义不同，因为在这里我们要求条件（2），包含了额外的标量。当然，如果代数是带单位元的，则条件（3）蕴含条件（2）。

标量体的体扩张

假设现在有一个体扩张F/K，意即有一个较大的体F ，其中包含着K，则对于一个向量空间V，透过张量积可以自然的构造 $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ ，其中 $V_{F}$ 是F上的向量空间。对于一个 $K$ -代数 $A$ ，同样可以构造出 $A_{F}=A\otimes _{K}F$ ，其中 $A_{F}$ 是一个F上的代数。

分类及例子

单位代数

若存在单位元I 使得对于所有x，都有Ix = x = xI，则称此代数为单位代数(unital /unitary)。

零代数

给定一个代数A，若对所有u, v ，皆有uv = 0，则称此代数为零代数(zero algebra)。^[2]需要注意的是此陈述不保证A只有一个元素。透过此定义可以得到零代数不含单位元、且有结合律、交换律。

结合代数

为有结合律的代数。以下给出几个例子:

所有 n×n 矩阵在体（或交换环）K 上的代数，其中的乘法是矩阵乘法。
群代数，其中的群被视为向量空间的基底，而乘法则是透过群乘法的扩张所定义。
多项式交换代数 K[x]，即所有在 K 上的多项式（见多项式环）。
函数代数，例如在区间 [0,1] 上定义的所有实连续函数的 R-代数，或者在复平面中某个固定开集上定义的所有全纯函数的 C-代数。
依附代数（Incidence algebras），构建于某些偏序集上。
线性算子代数，例如在希尔伯特空间上的线性算子代数。这里的代数乘法是由算子的合成(composition)给出的。这些代数也带有拓扑结构；其中许多定义在巴拿赫空间上，为巴拿赫代数。若给定一个共轭操作，我们就得到了 B∗-代数和 C∗-代数。

注解

^ See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004，第3 Proposition 1.1.1页
^ Prolla, João B. Lemma 4.10. Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. 2011: 65 [1977]. ISBN 978-0-08-087136-3.

References

Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. Algebras, rings and modules 1. Springer. 2004. ISBN 1-4020-2690-0.

[1] See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004，第3 Proposition 1.1.1页

[2] Prolla, João B. Lemma 4.10. Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. 2011: 65 [1977]. ISBN 978-0-08-087136-3.

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