里布叶状结构 的2维截面
里布叶状结构的3维模型
微分几何 中,叶状结构 (foliation )是n -流形 上的等价关系 ,等价类 是连通单射 浸入子流形 ,都具有相同维度p ,以实坐标空间
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
的分解 为标准嵌入 子空间
R
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}
的陪集
x
+
R
p
{\displaystyle x+\mathbb {R} ^{p}}
为模型。等价类称作叶状结构的叶 (leaf)。[ 1] 若要求流形和/或子流形具有(
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类的)分段线性 、微分 或解析 结构,就可分别定义分段线性、微分、解析叶状结构。在最重要的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类微分叶状结构中,通常r ≥ 1(否则
C
0
{\displaystyle C^{0}}
就是拓扑叶状结构)。[ 2] p (叶的维度)称作叶状结构的维度,
q
=
n
−
p
{\displaystyle q=n-p}
称作其余维数 。
在数学物理学家关于广义相对论 的一些论文中,“叶状结构”用于描述:相关的洛伦兹流形 ((p +1)维时空 )分解为p 维超平面 ,指定为梯度 处处不为零的实值光滑函数 (标量场 )的水平集;这光滑函数通常被假定为时间函数 ,梯度处处类时间 ,因此其水平集都是类空间超平面。为与标准数学术语保持一致,这些超平面通常称作叶状结构的叶。[ 3] 注意,虽然这情形确实构成标准数学意义上的余维-1叶状结构,但这类例子是全局平凡的。虽然(数学)余维-1叶状结构的叶局部 上总是函数的水平集,但一般不能在全局这样表达,[ 4] [ 5] 因为叶可能无限多次通过局部平凡化坐标图,叶周围的完整 也可能阻碍叶的全局一致定义函数的存在。例如,虽然3-球面 有一个由里布发现的余维1-叶状结构,但闭流形的余维-1叶状结构不能由光滑函数的水平集给出,因为闭流形上的光滑函数必然在最值点有临界点。
叶状结构好比是一种给流形 穿的条纹织物的衣服。在流形的每个足够小的片上,这些条纹给了流形一个局部乘积结构,不需在局部区域之外一致(不用有良定义 的整体结构):沿着一个条纹走足够远,可能回到不同的邻近的条纹。
叶状图与图册
为给叶状结构下精确定义,需先定义一些辅助元素。
3维叶状图(foliated chart),n = 3、q = 1。斑(plaque)是2维的,横截(transversal)是1维的。
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
中的矩邻域 是形式为
B
=
J
1
×
⋯
×
J
n
{\displaystyle B=J_{1}\times \cdots \times J_{n}}
的开 子集 ,其中
J
i
{\displaystyle J_{i}}
是第i 个坐标轴上(可能无界)的相对开区间。若
J
1
{\displaystyle J_{1}}
具有形式
(
a
,
0
]
{\displaystyle (a,\ 0]}
,则称B 具有边界 [ 6]
∂
B
=
{
(
0
,
x
2
,
…
,
x
n
)
∈
B
}
.
{\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}
在下面的定义中,坐标图(coordinate chart)被认为是在
R
p
×
R
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}
,允许流形具有边界和(凸 )角的可能。
n -流形M 上余维为q 的叶状图(foliated chart)是
(
U
,
φ
)
{\displaystyle (U,\ \varphi )}
,其中
U
⊂
M
{\displaystyle U\subset M}
是开集,
φ
:
U
→
B
τ
×
B
⋔
{\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}
是微分同胚 ,
B
⋔
{\displaystyle B_{\pitchfork }}
是
R
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}
中的矩邻域,
B
τ
{\displaystyle B_{\tau }}
是
R
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}
中的矩邻域。集合
P
y
=
φ
−
1
(
B
τ
×
{
y
}
)
{\displaystyle P_{y}=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times \{y\})}
,其中
y
∈
B
⋔
{\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}
称作这叶状图的斑(plaque)。
∀
x
∈
B
τ
{\displaystyle \forall x\in B_{\tau }}
,集合
S
x
=
φ
x
=
φ
−
1
(
{
x
}
×
B
⋔
)
{\displaystyle S_{x}=\varphi _{x}=\varphi ^{-1}(\{x\}\times B_{\pitchfork })}
称作叶状图的横截 (transversal)。集合
∂
τ
U
=
φ
−
1
(
B
τ
×
(
∂
B
⋔
)
)
{\displaystyle \partial _{\tau }U=\varphi ^{-1}(B_{\tau }\times (\partial B_{\pitchfork }))}
称作U 的切边界(tangential boundary),
∂
⋔
U
=
φ
−
1
(
(
∂
B
τ
)
×
B
⋔
)
{\displaystyle \partial _{\pitchfork }U=\varphi ^{-1}((\partial B_{\tau })\times B_{\pitchfork })}
称作U 的横截边界(transverse boundary)。[ 7]
叶状图是所有叶状结构的基本模型,斑就是叶。
B
τ
{\displaystyle B_{\tau }}
表示“B -切”,
B
⋔
{\displaystyle B_{\pitchfork }}
表示“B -截”。还有多种可能。若
B
⋔
,
B
τ
{\displaystyle B_{\pitchfork },\ B_{\tau }}
都有空边界,则叶状图就建模了无界n -流形的余维-q 叶状结构。若其中一个矩邻域有界,则叶状图建模了有界无角n -流形的叶状结构的各种可能性。具体来说,若
∂
B
⋔
≠
∅
=
∂
B
τ
{\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}
,则
∂
U
=
∂
τ
U
{\displaystyle \partial U=\partial _{\tau }U}
是斑之并,斑表示的叶状结构切于边界。若
∂
B
τ
≠
∅
=
∂
B
⋔
{\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}
,则
∂
U
=
∂
⋔
U
{\displaystyle \partial U=\partial _{\pitchfork }U}
是横截之并,叶状结构横截于边界。最后,若
∂
B
⋔
≠
∅
≠
∂
B
τ
{\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}
,则建模了叶状流形(foliated manifold),角分开了切边界与横截边界。[ 7]
(a ) 与边界相切的叶状结构
∂
B
⋔
≠
∅
=
∂
B
τ
{\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing =\partial B_{\tau }}
; (b ) 与边界相截的叶状结构
∂
B
τ
≠
∅
=
∂
B
⋔
{\displaystyle \partial B_{\tau }\neq \varnothing =\partial B_{\pitchfork }}
; (c ) 角将切边界与横截边界隔开的叶状结构
∂
B
⋔
≠
∅
≠
∂
B
τ
{\displaystyle \partial B_{\pitchfork }\neq \varnothing \neq \partial B_{\tau }}
。
n -流形M 上余维为q 的
C
r
(
0
≤
r
≤
∞
)
{\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}
类叶状图册 (foliated atlas)是余维为q 的叶状图的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
-图册
U
=
{
(
U
α
,
φ
α
)
∣
α
∈
A
}
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}
,只要P 、Q 在
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
的不同图中都是斑,P ∩ Q 在P 、Q 中都是开的,它们就是相干叶状结构(coherently foliated)。[ 8]
重新表述相干叶状图的有效方法是将
w
∈
U
α
∩
U
β
{\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}
写作:[ 9]
φ
α
(
w
)
=
(
x
α
(
w
)
,
y
α
(
w
)
)
∈
B
τ
α
×
B
⋔
α
,
{\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}
φ
β
(
w
)
=
(
x
β
(
w
)
,
y
β
(
w
)
)
∈
B
τ
β
×
B
⋔
β
.
{\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}
(
U
α
,
φ
α
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}
常写作
(
U
α
,
x
α
,
y
α
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })}
,其中[ 9]
x
α
=
(
x
α
1
,
…
,
x
α
p
)
,
{\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}
y
α
=
(
y
α
1
,
…
,
y
α
q
)
.
{\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}
在
φ
β
(
U
α
∩
U
β
)
{\displaystyle \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}
上,坐标公式可改写为[ 9]
g
α
β
(
x
β
,
y
β
)
=
φ
α
∘
φ
β
−
1
(
x
β
,
y
β
)
=
(
x
α
(
x
β
,
y
β
)
,
y
α
(
x
β
,
y
β
)
)
.
{\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}
U
α
{\displaystyle U_{\alpha }}
的每个斑都会遇到
U
β
{\displaystyle U_{\beta }}
的2个斑。
(
U
α
,
x
α
,
y
α
)
,
(
U
β
,
x
β
,
y
β
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }),\ (U_{\beta },\ x_{\beta },\ y_{\beta })}
是相干叶状结构这一条件意味着,若
P
⊂
U
α
{\displaystyle P\subset U_{\alpha }}
是斑,则
P
∩
U
β
{\displaystyle P\cap U_{\beta }}
的连通分量位于
U
β
{\displaystyle U_{\beta }}
的(可能不同的)斑中。等价地,由于
U
α
,
U
β
{\displaystyle U_{\alpha },\ U_{\beta }}
的斑分别是横坐标
y
α
,
y
β
{\displaystyle y_{\alpha },\ y_{\beta }}
的水平集,
∀
z
∈
U
α
∩
U
β
{\displaystyle \forall z\in U_{\alpha }\cap U_{\beta }}
都有邻域,其中公式
y
α
=
y
α
(
x
β
,
y
β
)
=
y
α
(
y
β
)
{\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}
与
x
β
{\displaystyle x_{\beta }}
无关。[ 9]
叶状图册的主要用处是将重叠的斑连接起来,形成叶状结构;上述一般定义显得有点笨拙,一个问题是,
(
U
α
,
φ
α
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha })}
的斑可以与多个
(
U
β
,
φ
β
)
{\displaystyle (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}
的斑相遇。甚至可能出现,一个图的斑与另一图的无穷多个斑相遇。不过,如下所示,假设情形更规则,也不失一般性。
若
U
∪
V
{\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}
是叶状
C
r
{\displaystyle C^{r}}
图册,则M 上两具有相同余维和光滑度的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类叶状图册
U
,
V
{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}
是相干的:
(
U
≈
V
)
{\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}
。叶状图册的相干是等价关系。[ 9]
证明 [ 9]
自反关系 和对称关系 是直接的。要证传递关系 ,令
U
≈
V
{\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}}
and
V
≈
W
{\displaystyle {\mathcal {V}}\thickapprox {\mathcal {W}}}
。令
(
U
α
,
x
α
,
y
α
)
∈
U
,
(
W
λ
,
x
λ
,
y
λ
)
∈
W
{\displaystyle (U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha })\in {\mathcal {U}},\ (W_{\lambda },\ x_{\lambda },\ y_{\lambda })\in {\mathcal {W}}}
,并假设有点
w
∈
U
α
∩
W
λ
{\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}
。择
(
V
δ
,
x
δ
,
y
δ
)
∈
V
{\displaystyle (V_{\delta },\ x_{\delta },\ y_{\delta })\in {\mathcal {V}}}
,使得
w
∈
V
δ
{\displaystyle w\in V_{\delta }}
。根据上述说明,w 有属于
U
α
∩
V
δ
∩
W
λ
{\displaystyle U_{\alpha }\cap V_{\delta }\cap W_{\lambda }}
的邻域,使得
y
δ
=
y
δ
(
y
λ
)
on
φ
λ
(
N
)
,
{\displaystyle y_{\delta }=y_{\delta }(y_{\lambda })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\lambda }(N),}
y
α
=
y
α
(
y
δ
)
on
φ
δ
(
N
)
,
{\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\delta })\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N),}
由此
y
α
=
y
α
(
y
δ
(
y
λ
)
)
on
φ
δ
(
N
)
.
{\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }\left(y_{\delta }(y_{\lambda })\right)\quad {\text{on}}\quad \varphi _{\delta }(N).}
由于
w
∈
U
α
∩
W
λ
{\displaystyle w\in U_{\alpha }\cap W_{\lambda }}
是任意的,可以总结
y
α
(
x
λ
,
y
λ
)
{\displaystyle y_{\alpha }(x_{\lambda },\ y_{\lambda })}
局部依赖于
x
λ
{\displaystyle x_{\lambda }}
。于是可以证明
U
≈
W
{\displaystyle {\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {W}}}
,因为相干是可传递的。[ 10]
规则叶状图册中的图。
上面定义的开集上的斑与横截也是开的。不过,我们也可以谈论闭的斑与横截:若
(
U
,
φ
)
,
(
W
,
ψ
)
{\displaystyle (U,\ \varphi ),\ (W,\ \psi )}
都是叶状图,使得
U
¯
{\displaystyle {\overline {U}}}
(U 的闭包 )是W 的子集,
φ
=
ψ
|
U
{\displaystyle \varphi =\psi |U}
;则,若
φ
(
U
)
=
B
τ
×
B
⋔
,
{\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}
可知
ψ
|
U
¯
{\displaystyle \psi |{\overline {U}}}
,写作
φ
¯
{\displaystyle {\overline {\varphi }}}
,将
U
¯
{\displaystyle {\overline {U}}}
微分同胚地带到
B
¯
τ
×
B
¯
⋔
.
{\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}
符合以下条件的叶状图册称作规则的(regular):
∀
α
∈
A
,
U
¯
α
{\displaystyle \forall \alpha \in A,\ {\overline {U}}_{\alpha }}
是叶状图
(
W
α
,
ψ
α
)
{\displaystyle (W_{\alpha },\ \psi _{\alpha })}
的紧子集,且
φ
α
=
ψ
α
|
U
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }=\psi _{\alpha }|U_{\alpha }}
;
覆盖
{
U
α
|
α
∈
A
}
{\displaystyle \{U_{\alpha }|\alpha \in A\}}
是局部有限的;
若
(
U
α
,
φ
α
)
,
(
U
β
,
φ
β
)
{\displaystyle (U_{\alpha },\ \varphi _{\alpha }),\ (U_{\beta },\ \varphi _{\beta })}
都是叶状图册的元素,则每个闭斑
P
⊂
U
¯
α
{\displaystyle P\subset {\overline {U}}_{\alpha }}
的内部与最多与
U
¯
β
{\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }}
中的1个斑相遇。[ 11]
根据性质 (1),坐标
x
α
,
y
α
{\displaystyle x_{\alpha },\ y_{\alpha }}
延伸到
U
¯
α
{\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}
上的坐标
x
¯
α
,
y
¯
α
{\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha },\ {\overline {y}}_{\alpha }}
,可以写成
φ
¯
α
=
(
x
¯
α
,
y
¯
α
)
.
{\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}
性质 (3)等价于要求:若
U
α
∩
U
β
≠
∅
{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnothing }
,横坐标变化
y
¯
α
=
y
¯
α
(
x
¯
β
,
y
¯
β
)
{\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}
独立于
x
¯
β
.
{\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}
即
g
¯
α
β
=
φ
¯
α
∘
φ
¯
β
−
1
:
φ
¯
β
(
U
¯
α
∩
U
¯
β
)
→
φ
¯
α
(
U
¯
α
∩
U
¯
β
)
{\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}
有公式[ 11]
g
¯
α
β
(
x
¯
β
,
y
¯
β
)
=
(
x
¯
α
(
x
¯
β
,
y
¯
β
)
,
y
¯
α
(
y
¯
β
)
)
.
{\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}
类似论断也适于开图(无覆盖线)。横坐标映射
y
α
{\displaystyle y_{\alpha }}
可视作浸没
y
α
:
U
α
→
R
q
{\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}
公式
y
α
=
y
α
(
y
β
)
{\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(y_{\beta })}
可视作微分同胚
γ
α
β
:
y
β
(
U
α
∩
U
β
)
→
y
α
(
U
α
∩
U
β
)
.
{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}
它们满足上循环条件 ,即,在
y
δ
(
U
α
∩
U
β
∩
U
δ
)
{\displaystyle y_{\delta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\cap U_{\delta })}
上,
γ
α
δ
=
γ
α
β
∘
γ
β
δ
{\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}
尤其是,[ 12]
γ
α
α
≡
y
α
(
U
α
)
,
{\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}
γ
α
β
=
γ
β
α
−
1
.
{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}
用上述关于相干性和规则性的定义,可证明每个叶状图册都有规则的相干细化 。[ 13]
证明 [ 13]
固定M 上的一个度量核一个叶状图册
W
.
{\displaystyle {\mathcal {W}}.}
传递到子覆盖 ,如有必要,可假设
W
=
{
W
j
,
ψ
j
}
j
=
1
l
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=1}^{l}}
有限。令ε > 0是
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
的勒贝格数 ,即直径< ε的
∀
⊂
X
⊆
M
{\displaystyle \forall \subset X\subseteq M}
都完全位于某个
W
j
{\displaystyle W_{j}}
中。
∀
x
∈
M
{\displaystyle \forall x\in M}
,择j 使得
x
∈
W
j
{\displaystyle x\in W_{j}}
、择叶状图
(
U
x
,
φ
x
)
{\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}
使得
x
∈
U
x
⊆
U
¯
x
⊂
W
j
,
{\displaystyle x\in U_{x}\subseteq {\overline {U}}_{x}\subset W_{j},}
φ
x
=
ψ
j
|
U
x
,
{\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x},}
d
i
a
m
(
U
x
)
<
ε
/
2.
{\displaystyle {\rm {diam}}(U_{x})<\varepsilon /2.}
设
U
x
⊂
W
k
(
k
≠
j
)
{\displaystyle U_{x}\subset W_{k}\ (k\neq j)}
,并照常记
ψ
k
=
(
x
k
,
y
k
)
(
y
k
:
W
k
→
R
q
)
{\displaystyle \psi _{k}=(x_{k},\ y_{k})\ (y_{k}:\ W_{k}\to \mathbb {R} ^{q})}
是横坐标映射。这是浸没 ,以
W
k
{\displaystyle W_{k}}
中的斑为水平集。因此,
y
k
{\displaystyle y_{k}}
限制到浸没
y
k
:
U
x
→
R
q
.
{\displaystyle y_{k}:\ U_{x}\to \mathbb {R} ^{q}.}
这在
x
j
{\displaystyle x_{j}}
中是局部为常的;因此,若有必要可以选择较小的
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,假定
y
k
|
U
¯
x
{\displaystyle y_{k}|{\overline {U}}_{x}}
以
U
¯
x
{\displaystyle {\overline {U}}_{x}}
的斑为水平集。即,
W
k
{\displaystyle W_{k}}
的斑最多与
U
¯
x
{\displaystyle {\overline {U}}_{x}}
的一个(紧)斑相遇(因此包含)。由于1 < k < l < ∞ ,可以择
U
x
{\displaystyle U_{x}}
,使得只要
U
x
⊂
W
k
{\displaystyle U_{x}\subset W_{k}}
,
U
¯
x
{\displaystyle {\overline {U}}_{x}}
的不同斑就位于
W
k
{\displaystyle W_{k}}
的不同斑中。传递到
{
(
U
x
,
φ
x
)
|
x
∈
M
}
{\displaystyle \{(U_{x},\ \varphi _{x})|x\in M\}}
的有限子图册
U
=
{
U
i
,
φ
i
}
i
=
1
N
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{N}}
。若
U
i
∩
U
j
≠
0
,
d
i
a
m
(
U
i
∪
U
j
)
<
ε
{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq 0,\ {\rm {diam}}(U_{i}\cup U_{j})<\varepsilon }
,于是存在索引k 使得
U
¯
i
∪
U
¯
j
⊆
W
k
{\displaystyle {\overline {U}}_{i}\cup {\overline {U}}_{j}\subseteq W_{k}}
。
U
¯
i
{\displaystyle {\overline {U}}_{i}}
的不同斑(分别是
U
¯
j
{\displaystyle {\overline {U}}_{j}}
的不同斑)位于
W
k
{\displaystyle W_{k}}
的不同斑中。因此
U
¯
i
{\displaystyle {\overline {U}}_{i}}
的每个斑内部最多与
U
¯
j
{\displaystyle {\overline {U}}_{j}}
的一个斑相交,反之亦然。根据构造,
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
是
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
的相干细化,是规则叶状图册。
若M 非紧,局部紧 性和第二可数性 允许我们选择紧子集序列
{
K
i
}
i
=
0
∞
{\displaystyle \left\{K_{i}\right\}_{i=0}^{\infty }}
,使得
∀
i
≥
0
,
M
=
⋃
i
=
1
∞
K
i
,
K
i
⊂
i
n
t
K
i
+
1
{\displaystyle \forall i\geq 0,\ M=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i},\ K_{i}\subset {\rm {int}}K_{i+1}}
。传递到子图集,假定
W
=
{
W
j
,
ψ
j
}
j
=
0
∞
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{\infty }}
可数,且可找到严格递增正整数列
{
n
l
}
l
=
0
∞
{\displaystyle \left\{n_{l}\right\}_{l=0}^{\infty }}
使
W
l
=
{
W
j
,
ψ
j
}
j
=
0
n
l
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}=\left\{W_{j},\psi _{j}\right\}_{j=0}^{n_{l}}}
是
K
l
{\displaystyle K_{l}}
的覆盖。令
δ
l
{\displaystyle \delta _{l}}
表示
K
l
{\displaystyle K_{l}}
到
∂
K
l
+
1
{\displaystyle \partial K_{l+1}}
的距离,并择
ε
l
>
0
{\displaystyle \varepsilon _{l}>0}
,小到对于
l
≥
1
,
ε
0
<
δ
0
/
2
{\displaystyle l\geq 1,\ \varepsilon _{0}<\delta _{0}/2}
,都有
ε
l
<
m
i
n
{
δ
l
/
2
,
ε
l
−
1
}
{\displaystyle \varepsilon _{l}<{\rm {min}}\{\delta _{l}/2,\ \varepsilon _{l-1}\}}
(
ε
l
{\displaystyle \varepsilon _{l}}
是
W
l
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}
(作为
K
l
{\displaystyle K_{l}}
的开覆盖)与
W
l
+
1
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}
(作为
K
l
+
1
{\displaystyle K_{l+1}}
的开覆盖)的勒贝格数)。更确切地说,若
X
⊂
M
{\displaystyle X\subset M}
与
L
l
{\displaystyle L_{l}}
相遇(或
K
l
+
1
{\displaystyle K_{l+1}}
),且
d
i
a
m
X
<
ε
l
{\displaystyle {\rm {diam}}X<\varepsilon _{l}}
,则X 位于
W
l
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{l}}
的某个元素中(或
W
l
+
1
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{l+1}}
)。
∀
x
∈
K
l
╲
i
n
t
K
l
−
1
{\displaystyle \forall x\in K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}
,与紧情形一样构造
(
U
x
,
φ
x
)
{\displaystyle (U_{x},\ \varphi _{x})}
,要求
U
¯
x
{\displaystyle {\overline {U}}_{x}}
是
W
j
{\displaystyle W_{j}}
的紧子集,且
∀
j
≤
n
l
,
φ
x
=
ψ
j
|
U
x
{\displaystyle \forall j\leq n_{l},\ \varphi _{x}=\psi _{j}|U_{x}}
。同时,要求
d
i
a
m
U
¯
x
<
ε
l
/
2
{\displaystyle {\rm {diam}}{\overline {U}}_{x}<\varepsilon _{l}/2}
。和之前一样,传递到
K
l
╲
i
n
t
K
l
−
1
{\displaystyle K_{l}\diagdown {\rm {int}}K_{l-1}}
的有限子覆盖
{
U
i
,
φ
i
}
i
=
n
l
−
1
+
1
n
l
{\displaystyle \left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=n_{l-1}+1}^{n_{l}}}
(此处取
n
−
1
=
0
{\displaystyle n_{-1}=0}
。)这样就创造了规则叶状图册
U
=
{
U
i
,
φ
i
}
i
=
1
∞
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{i},\varphi _{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}
,细化了
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
并与
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
相干。
叶状结构的定义
根据实现叶状结构的方式,有几种不同的定义。最常见方式是通过流形分解 ,得到
通过坐标函数
x
:
U
→
R
n
{\displaystyle x:\ U\to \mathbb {R} ^{n}}
分解
定义 n 维流形M 的p -维
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类叶状结构是将M 分解为不交 连通子流形
{
L
α
}
α
∈
A
{\displaystyle \{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}
的并,称作叶状结构的叶(leaf),具有如下性质:M 的点都有邻域U 和局部
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类坐标系
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:
U
→
R
n
{\displaystyle x=(x^{1},\ \ldots ,\ x^{n}):\ U\to \mathbb {R} ^{n}}
,使得对每片叶
L
α
{\displaystyle L_{\alpha }}
,
U
∩
L
α
{\displaystyle U\cap L_{\alpha }}
的组分都由方程组
x
p
+
1
=
常数
,
…
,
x
n
=
常数
{\displaystyle x^{p+1}={\text{常数}},\ \ldots ,\ x^{n}={\text{常数}}}
描述。则,叶状结构记作
F
=
{
L
α
}
α
∈
A
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{L_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.}
[ 5]
叶的概念可以让我们直观地思考叶状结构。若用稍微几何化的定义,n 维流形M 的p 维叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
也许可简单视作M 的逐对不交、连通浸没的p 维子流形(叶状结构的叶)的集合
{
M
a
}
{\displaystyle \{M_{a}\}}
,使得对点
∀
x
∈
M
{\displaystyle \forall x\in M}
,都有图
(
U
,
φ
)
{\displaystyle (U,\varphi )}
,其中U 同胚于
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
,包含的x 使得对每片叶
M
a
{\displaystyle M_{a}}
,与U 相遇或为空集或为子空间的可数集 ,其在
φ
(
M
a
∩
U
)
{\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}
中
φ
{\displaystyle \varphi }
的像下是前n-p个坐标为常数的p 维仿射子空间 。
叶状结构局部上都是浸没 ,允许下列定义
定义 令M 、Q 是n 维流形,q ≤n ,并令
f
:
M
→
Q
{\displaystyle f:\ M\to Q}
是浸没,即假设函数微分矩阵(雅可比矩阵 )的秩为q ,则据隐函数定理 ,ƒ 在M 上诱导了余维为q 的叶状结构,其中的叶定义为
x
∈
Q
,
f
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle x\in Q,\ f^{-1}(x).}
[ 5]
这定义描述了n 维流形M 的p 维叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
,是由图 (chart)
U
i
{\displaystyle U_{i}}
与下列映射覆盖的:
φ
i
:
U
i
→
R
n
{\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}
这样,对重叠对
U
i
,
U
j
{\displaystyle U_{i},\ U_{j}}
,转移函数
φ
i
j
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle \varphi _{ij}:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
定义为
φ
i
j
=
φ
j
φ
i
−
1
{\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}
形式为
φ
i
j
(
x
,
y
)
=
(
φ
i
j
1
(
x
)
,
φ
i
j
2
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}
其中x 表示前
q
=
n
−
p
{\displaystyle q=n-p}
个坐标,y 表示后p 个坐标(co-ordinates),即
φ
i
j
1
:
R
q
→
R
q
φ
i
j
2
:
R
n
→
R
p
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}
将转移函数
φ
i
j
{\displaystyle \varphi _{ij}}
拆分为
φ
i
j
1
(
x
)
,
φ
i
j
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x),\ \varphi _{ij}^{2}(x,y)}
,作为浸没的一部分完全类似于将
g
¯
α
β
{\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}
拆分为
y
¯
α
(
y
¯
β
)
,
x
¯
α
(
x
¯
β
,
y
¯
β
)
{\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right),\ {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}
,作为规则叶状图册定义的一部分。这使得可以用规则叶状图册定义叶状结构成为可能。为此,必须首先证明,余维度为q 的规则叶状图册都与唯一的余维度为q 的叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
相关联。[ 13]
证明[ 13]
令
U
=
{
U
a
,
φ
α
}
α
∈
A
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\left\{U_{a},\varphi _{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}}
是余维为q 的规则叶状图册。在M 上定义等价关系:x ~ y ,当且仅当
∃
U
{\displaystyle \exists {\mathcal {U}}}
-斑
P
0
{\displaystyle P_{0}}
使得
x
,
y
∈
P
0
{\displaystyle x,\ y\in P_{0}}
,或有
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
-斑的序列
L
=
{
P
0
,
P
1
,
…
,
P
p
}
{\displaystyle L=\{P_{0},\ P_{1},\ \dots ,\ P_{p}\}}
使得
x
∈
P
0
,
y
∈
P
p
,
P
i
∩
P
i
−
1
≠
∅
(
1
≤
i
≤
p
)
{\displaystyle x\in P_{0},\ y\in P_{p},\ P_{i}\cap P_{i-1}\neq \varnothing \ (1\leq i\leq p)}
成立。称序列L 为连接x 、y 的长p 的斑链。
x
,
y
∈
P
0
{\displaystyle x,\ y\in P_{0}}
时,可以说
{
P
0
}
{\displaystyle \{P_{0}\}}
是连接x 、y 的长度为0的斑链。~是等价关系,这很清楚;同样明显的是,等价类L 都是斑的并。由于
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
-斑只能在彼此的开子集中相互重叠,所以L 在局部是维度为n-q的拓扑浸入(immerse)子流形。斑
P
⊂
L
{\displaystyle P\subset L}
的开子集在L 上构成了n-q维的局部欧氏拓扑的基,L 在这拓扑中显然是连通的。要检验L 是否为豪斯多夫空间 也是平凡的,主要问题是要证明L 第二可数 。由于斑都是第二可数的,所以对L 只需证L 中
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
-斑集最多为可数无穷。固定一个这样的斑
P
0
{\displaystyle P_{0}}
,根据规则叶状图册的定义,其只与有限多个其他斑相遇。即,只有有限多长1的斑链
{
P
0
,
P
i
}
{\displaystyle \{P_{0},\ P_{i}\}}
。归纳始于
P
0
{\displaystyle P_{0}}
的p 长斑链,同样可证明长度≤ p的斑链只有有限多条。根据~的定义,L 中所有
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
-斑都可通过始于
P
0
{\displaystyle P_{0}}
的有限斑链抵达,因此可得上述论断。
正如证明所示,叶状结构的叶是长度 ≤ p 的斑链的等价类,也是拓扑浸入豪斯多夫p 维子流形 。接着,我们将证明叶上斑的等价关系可用相干叶状图册的等价来表示,即它们与叶状结构的联系。更具体地说,若
U
,
V
{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}
是M 上的叶状图册、且若
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
与叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
相关联,则当且仅当
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
也与
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
相关联时,
U
,
V
{\displaystyle {\mathcal {U}},\ {\mathcal {V}}}
相干。[ 10]
现在很明显,M 上的叶状结构与叶状图册间的关联关系产生了M 的叶状结构集同叶状图册的相干类集之间的一一对应,换句话说,M 上余维为q 的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是余维为q 的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类叶状图册的相干类。[ 14] 据佐恩引理 ,叶状图册相干类显然包含唯一的最大叶状图册。于是,
定义 M 上余维为q 的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类叶状结构是M 上余维为q 的最大叶状
C
r
{\displaystyle C^{r}}
-图册。[ 14]
实践中,通常用较小的叶状图册表示叶状结构,通常还要求是规则的。
在图
U
i
{\displaystyle U_{i}}
中,条纹
x
=
常数
{\displaystyle x={\text{常数}}}
与别的图
U
j
{\displaystyle U_{j}}
上的条相匹配。这些子流形在图之间拼接成最大连通 单射浸入子流形 ,就是叶状结构的叶 (leaf)。
若缩小图
U
i
{\displaystyle U_{i}}
,可以写成
U
i
x
×
U
i
y
{\displaystyle U_{ix}\times U_{iy}}
,其中
U
i
x
⊂
R
n
−
p
,
U
i
y
⊂
R
p
.
U
i
y
{\displaystyle U_{ix}\subset \mathbb {R} ^{n-p},\ U_{iy}\subset \mathbb {R} ^{p}.\ \ U_{}iy}
与斑同构,
U
i
x
{\displaystyle U_{ix}}
的点参数化了
U
i
{\displaystyle U_{i}}
中的斑。若择
y
0
∈
U
i
y
{\displaystyle y_{0}\in U_{iy}}
,则
U
i
x
×
{
y
0
}
{\displaystyle U_{ix}\times \{y_{0}\}}
是
U
i
{\displaystyle U_{i}}
的子流形,与每个斑恰交一次,这叫做叶状结构的局部横截 面 。注意,由于单值性 的原因,全局横截面可能不存在。
r = 0的情形比较特殊。实践中出现的
C
0
{\displaystyle C^{0}}
叶状结构通常是“光滑叶”。更确切地说,是以下意义的
C
r
,
0
{\displaystyle C^{r,\ 0}}
类:
定义 若叶状图册的相应相干类包含规则叶状图册
{
U
α
,
x
α
,
y
α
}
α
∈
A
{\displaystyle \{U_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}
,使得坐标变换式
g
α
β
(
x
β
,
y
β
)
=
(
x
α
(
x
β
,
y
β
)
,
y
α
(
y
β
)
)
.
{\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}
属于
C
k
{\displaystyle C^{k}}
类,但
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
在坐标
x
β
{\displaystyle x_{\beta }}
中是
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类,其阶数≤ r 、与
x
β
{\displaystyle x_{\beta }}
的混合偏导数在坐标
(
x
β
,
y
β
{\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta }}
中是
C
k
{\displaystyle C^{k}}
类,则称叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
属于
C
r
,
k
(
r
>
k
≥
0
)
{\displaystyle C^{r,\ k}\ (r>k\geq 0)}
类。[ 14]
上述定义是所谓“叶状空间”的更一般概念。我们可以放宽横截的条件为
R
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}
的相对紧开子集,允许横坐标
y
α
{\displaystyle y_{\alpha }}
在更一般的拓扑空间Z 中取值。斑仍是
R
q
{\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}
的相对紧开子集,横坐标公式
y
α
(
y
β
)
{\displaystyle y_{\alpha }(y_{\beta })}
的变化是连续的,
x
α
(
x
β
,
y
β
)
{\displaystyle x_{\alpha }(x_{\beta },\ y_{\beta })}
在坐标
x
β
{\displaystyle x_{\beta }}
中属于
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类,其阶数 ≤ r 、与
x
β
{\displaystyle x_{\beta }}
的混合偏导数在坐标
(
x
β
,
y
β
)
{\displaystyle (x_{\beta },\ y_{\beta })}
中连续。一般要求M 、Z 为局部紧可测第二可数空间 。这似乎是很狂野的推广,但在一些情形下很有用。[ 15]
完整性
令
(
M
,
F
)
{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}
是叶状流形(foliated manifold)。设L 是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的叶,s 是L 中的路径,我们感兴趣的是M 中s 的邻域中叶状结构的行为。直观地说,在叶上可以沿路径s 行走,同时关注附近所有叶。在他(以下写作s (t ))行走时,一些叶可能会“掉落”、变得不可见;另一些可能会突然进入可视范围,渐渐接近L ;还有些可能会以接近平行的方式跟随L ,或垂直地打转之类。若s 是环路,则随着t 增大,s (t )会反复回到同一个点s (t 0 ),每次都会有更多叶螺旋状地进入或离开视野。这种行为经过适当的形式化,叫做叶状结构的完整性(holonomy)。
完整性在叶状流形上有多种具体实现方式:叶状丛(foliated bundle)的总完整群、一般叶状流形的完整伪群、一般叶状流形的亏格完整广群、叶的亏格完整群、叶的无穷小完整群。
叶状丛
最容易理解的完整性是叶状丛的总完整性,这是庞加莱映射 概念的推广。
横截面(cross section)N 与第一回归映射(first return map)f ,其中
M
=
S
1
×
D
2
,
N
=
D
2
.
{\displaystyle M=S^{1}\times D^{2},\ N=D^{2}.}
“第一回归映射” 来自动力系统理论。令
Φ
t
{\displaystyle \Phi _{t}}
是紧n -流形上的非奇异
C
r
(
r
≥
1
)
{\displaystyle C^{r}\ (r\geq 1)}
流。应用中,可以想象M 是个回旋加速器 或流体的闭合回路。若M 有界,则假定流与界相切。流生成了1维叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
。若知道流的正方向,但不知道其他参数(轨迹形状、速度等),则称底叶状结构(underlying foliation)
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
有向。假设流有全局横截面N ,即N 是M 的n-1维紧正合嵌入的
C
r
{\displaystyle C^{r}}
子流形,叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
垂直于N ,每条流线都与N 相遇。由于N 的维度与叶的维度是互补的,横截性条件是
T
y
(
M
)
=
T
y
(
F
)
⊕
T
y
(
N
)
for each
y
∈
N
.
{\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}
令
y
∈
N
{\displaystyle y\in N}
,考虑M 中所有序列
{
Φ
t
k
(
y
)
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}
的所有堆积点的ω -极限集合 ω(y),其中
t
k
{\displaystyle t_{k}}
为无穷大。可以证明,ω(y)是紧非空的,是流线的并。若
z
=
lim
k
→
∞
Φ
t
k
∈
ω
(
y
)
,
{\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}
则有值
t
∗
∈
R
{\displaystyle t^{*}\in \mathbb {R} }
使得
Φ
t
∗
(
z
)
∈
N
{\displaystyle \Phi _{t^{*}}(z)\in N}
,由此可得
lim
k
→
∞
Φ
t
k
+
t
∗
(
y
)
=
Φ
t
∗
(
z
)
∈
N
.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}
由于N 是紧的,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
横截于N ,因此集合
{
t
>
0
|
Φ
t
(
y
)
∈
N
}
{\displaystyle \{t>0|\Phi _{t}(y)\in N\}}
是单调递增序列
{
τ
k
(
y
)
}
k
=
1
∞
{\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}
,并发散。
当
y
∈
N
{\displaystyle y\in N}
变化,令
τ
(
y
)
=
τ
1
(
y
)
{\displaystyle \tau (y)=\tau _{1}(y)}
,这样定义一个正函数
τ
∈
C
r
(
N
)
{\displaystyle \tau \in C^{r}(N)}
(第一回归时间),使得
∀
y
∈
N
,
Φ
t
(
y
)
∉
N
,
0
<
t
<
τ
(
y
)
,
Φ
τ
(
y
)
(
y
)
∈
N
.
{\displaystyle \forall y\in N,\ \Phi _{t}(y)\notin N,\ 0<t<\tau (y),\ \Phi _{\tau (y)}(y)\in N.}
定义
f
:
N
→
N
,
f
(
y
)
=
Φ
τ
(
y
)
(
y
)
.
{\displaystyle f:\ N\to N,\ f(y)=\Phi _{\tau (y)}(y).}
这是
C
r
{\displaystyle C^{r}}
映射。若流反向,则完全相同的构造会得到逆的
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
;所以
f
∈
D
i
f
f
r
(
N
)
{\displaystyle f\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}
。这个微分同胚是第一回归映射,τ称作第一回归时间 。虽然第一回归时间取决于流的参数化,但f 显然只取决于有向叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
。可以将流
Φ
t
{\displaystyle \Phi _{t}}
重参数化,使其保持非奇异、是
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类,且方向不翻转,从而使
τ
≡
1.
{\displaystyle \tau \equiv 1.}
流有横截面N的假设是很受限的,意味着M 是
S
1
{\displaystyle S^{1}}
上纤维丛的总空间。事实上在
R
×
N
{\displaystyle \mathbb {R} \times N}
上,可将
∼
f
{\displaystyle \sim _{f}}
定义为以下条件生成的等价关系:
(
t
,
y
)
∼
f
(
t
−
1
,
f
(
y
)
)
.
{\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}
等价地,这是加法群Z 在
R
×
N
{\displaystyle \mathbb {R} \times N}
上的作用的轨等价,定义如下
∀
k
∈
Z
,
∀
(
t
,
y
)
∈
R
×
N
,
k
⋅
(
t
,
y
)
=
(
t
−
k
,
f
k
(
y
)
)
.
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,\ \forall (t,\ y)\in \mathbb {R} \times N,\ k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)).}
f 的映射圆柱定义为
C
r
{\displaystyle C^{r}}
流形
M
f
=
(
R
×
N
)
/
∼
f
.
{\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}
由第一回归映射f 的定义与第一回归时间
τ
≡
1
{\displaystyle \tau \equiv 1}
的假设,可立即得出映射
Φ
:
R
×
N
→
M
.
{\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}
流的定义可诱导一个规范
C
r
{\displaystyle C^{r}}
微分同胚
φ
:
M
f
→
M
.
{\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}
若记
M
f
=
M
{\displaystyle M_{f}=M}
,则
R
×
N
{\displaystyle \mathbb {R} \times N}
到R 的投影诱导了
C
r
{\displaystyle C^{r}}
映射
π
:
M
→
R
/
Z
=
S
1
{\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}
使M 变为圆上纤维丛 的总空间。这只是
S
1
×
D
2
{\displaystyle S^{1}\times D^{2}}
到
S
1
{\displaystyle S^{1}}
的投影。叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
横截于这丛的纤维,限制到每片叶L 的丛投影π是覆盖映射
π
:
L
→
S
1
{\displaystyle \pi :\ L\to S^{1}}
,这就是叶状丛(foliated bundle)。
以
x
0
∈
S
1
{\displaystyle x_{0}\in S^{1}}
的等价类
0
+
Z
{\displaystyle 0+\mathbb {Z} }
为基点,
π
−
1
(
x
0
)
{\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}
就是原横截面N 。对
S
1
{\displaystyle S^{1}}
上以
x
0
{\displaystyle x_{0}}
为基点的每个环路s ,同伦类
[
s
]
∈
π
1
(
S
1
,
x
0
)
{\displaystyle [s]\in \pi _{1}(S^{1},\ x_{0})}
的唯一特征是
d
e
g
s
∈
Z
{\displaystyle {\rm {deg}}s\in \mathbb {Z} }
。环路s 提升到每条流线中的一条路径,很明显提升
s
y
{\displaystyle s_{y}}
始于
y
∈
N
{\displaystyle y\in N}
、终于
f
k
(
y
)
∈
N
(
k
=
d
e
g
s
)
{\displaystyle f^{k}(y)\in N\ (k={\rm {deg}}s)}
。微分同胚
f
k
∈
D
i
f
f
r
(
N
)
{\displaystyle f^{k}\in {\rm {Diff}}^{r}(N)}
也用
h
s
{\displaystyle h_{s}}
表示,称作环路s 的总整体性。由于只取决于[s ],因此定义了同胚
h
:
π
1
(
S
1
,
x
0
)
→
Diff
r
(
N
)
,
{\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}
称作叶状丛的总整体同胚。
更直观地运用纤维丛,令
(
M
,
F
)
{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}})}
是余维为q 的叶状n -流形,令
π
:
M
→
B
{\displaystyle \pi :\ M\to B}
是纤维丛,具有q 维纤维F 与连通基空间B 。假设所有这些结构都属于
C
r
(
0
≤
r
≤
∞
)
{\displaystyle C^{r}\ (0\leq r\leq \infty )}
类,若r = 0,B 支持一个
C
1
{\displaystyle C^{1}}
结构。由于B 上的最大
C
1
{\displaystyle C^{1}}
图册都包含
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
子图册,因此假设B 如所期望那般光滑并不失一般性。最后,
∀
x
∈
B
{\displaystyle \forall x\in B}
,假设x 有连通开邻域
U
⊆
B
{\displaystyle U\subseteq B}
,和局部平凡化
π
−
1
(
U
)
→
φ
U
×
F
π
↓
↓
p
U
→
id
U
{\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}
其中φ 是
C
r
{\displaystyle C^{r}}
微分同胚(若r = 0则是同胚),将
F
∣
π
−
1
(
U
)
{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}
带到积叶状结构
{
U
×
{
y
}
}
y
∈
F
{\displaystyle \{U\times \{y\}\}_{y\in F}}
。其中,
F
∣
π
−
1
(
U
)
{\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}
是叶为
L
∩
π
−
1
(
U
)
{\displaystyle L\cap \pi ^{-1}(U)}
的连通组分的叶状结构,L 是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的叶。这是
C
r
{\displaystyle C^{r}}
类“叶状丛”(foliated bundle)
(
M
,
F
,
π
)
{\displaystyle (M,\ {\mathcal {F}},\ \pi )}
的一般定义。
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
垂直于π的纤维(可以说
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是垂直于纤维的),π到
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的每片叶L 的限制是覆盖映射
π
:
L
→
B
{\displaystyle \pi :\ L\to B}
。特别是,每条纤维
F
x
=
π
−
1
(
x
)
{\displaystyle F_{x}=\pi ^{-1}(x)}
都与
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的每片叶相遇。纤维是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
的横截,与流的横截完全类似。
叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
横截于纤维不能保证叶是B 的覆盖空间。这个问题的一个简单版本是
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
的一个叶状结构横截于纤维
π
:
R
2
→
R
,
{\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}
π
(
x
,
y
)
=
x
,
{\displaystyle \pi (x,y)=x,}
但有无限多叶缺失了y 轴。在相应的图像中,“有箭头的”叶以及它们上面所有的叶都渐进于x = 0轴。一般称这种叶状结构为相对于纤维是不完备的,即当参数
x
∈
B
{\displaystyle x\in B}
接近某个
x
0
∈
B
{\displaystyle x_{0}\in B}
,一些叶“奔向无穷大”。更确切地说,可能有叶L ,和一条连续路径
s
:
[
0
,
a
)
→
L
{\displaystyle s:\ [0,\ a)\to L}
使得
lim
t
→
a
−
π
(
s
(
t
)
)
=
x
0
∈
B
{\displaystyle \lim _{t\to a-}\pi (s(t))=x_{0}\in B}
,但
lim
t
→
a
−
s
(
t
)
{\displaystyle \lim _{t\to a-}s(t)}
在L 的流形拓扑中不存在。这类似于不完备流,某些流线会在有限时间内发散。虽然这样的叶L 可能在别处与
π
−
1
(
x
0
)
{\displaystyle \pi ^{-1}(x_{0})}
相遇,但不能均匀覆盖
x
0
{\displaystyle x_{0}}
的邻域,因此不可能是B 在π下的的覆盖空间。F 是紧的时,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
对纤维的横截性确实保证了完备性,于是
(
M
,
F
,
π
)
{\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}
是叶状丛。
B 上有图册
U
=
{
U
α
,
x
α
}
α
∈
A
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha },\ x_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}
,包含开连通坐标图,以及平凡化
φ
α
:
π
−
1
(
U
α
)
→
U
α
×
F
{\displaystyle \varphi _{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to U_{\alpha }\times F}
,将
F
|
π
−
1
(
U
α
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}|\pi ^{-1}(U_{\alpha })}
带到积叶状结构。置
W
α
=
π
−
1
(
U
α
)
{\displaystyle W_{\alpha }=\pi ^{-1}(U_{\alpha })}
,并记
φ
α
=
(
x
α
,
y
α
)
{\displaystyle \varphi _{\alpha }=(x_{\alpha },\ y_{\alpha })}
,其中(滥用符号)
x
α
{\displaystyle x_{\alpha }}
表示
x
α
∘
π
,
y
α
:
π
−
1
(
U
α
)
→
F
{\displaystyle x_{\alpha }\circ \pi ,\ y_{\alpha }:\ \pi ^{-1}(U_{\alpha })\to F}
是将
φ
α
{\displaystyle \varphi _{\alpha }}
与规范投影
U
α
×
F
→
F
{\displaystyle U_{\alpha }\times F\to F}
组合而得的浸没。
图册
W
=
{
W
α
,
x
α
,
y
α
}
α
∈
A
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\{W_{\alpha },\ x_{\alpha },\ y_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}
的作用类似叶状图册。
W
α
{\displaystyle W_{\alpha }}
的斑是
y
α
{\displaystyle y_{\alpha }}
的水平集,这一族斑通过
y
α
{\displaystyle y_{\alpha }}
,与F 相同。由于预设了B 支持某个
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
结构,据怀特黑德定理 ,可在B 上固定一个黎曼度量,择图册
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
为测地凸的。于是,
U
α
∩
U
β
{\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}
总是连通的。若这个交非空,则
W
α
{\displaystyle W_{\alpha }}
的每个斑都正好与
W
β
{\displaystyle W_{\beta }}
的一个斑相遇。然后,通过设下式,可定义一个完整上循环(holonomy cocycle)
γ
=
{
γ
α
β
}
α
,
β
∈
A
{\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}
by setting
γ
α
β
=
y
α
∘
y
β
−
1
:
F
→
F
.
{\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}
例子
平坦空间
考虑n 维空间,是由前n-p个坐标为常数的点组成的子空间之积。这可以用一张图(chart)表示,其基本原理是
R
n
=
R
n
−
p
×
R
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n-p}\times \mathbb {R} ^{p}}
,叶或斑
R
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}
由
R
n
−
p
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n-p}}
枚举。置n = 3、p = 2,可以类比三维空间:书的2维叶由(1维)页码枚举。
丛
较平凡的叶状结构例子是积
M
=
B
×
F
{\displaystyle M=B\times F}
,叶
F
b
=
{
b
}
×
F
,
b
∈
B
{\displaystyle F_{b}=\{b\}\times F,\ b\in B}
(M 的另一个叶状结构由
B
f
=
B
×
{
f
}
,
f
∈
F
{\displaystyle B_{f}=B\times \{f\},\ f\in F}
给出)。
对流形F 而言,
G
=
H
o
m
e
o
(
F
)
{\displaystyle G={\rm {Homeo}}(F)}
的平坦G -丛是更一般的一类。给定表示
ρ
:
π
1
(
B
)
→
H
o
m
e
o
(
F
)
{\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}
,具有单值ρ的平坦
H
o
m
e
o
(
F
)
{\displaystyle {\rm {Homeo}}(F)}
-丛由
M
=
(
B
~
×
F
)
/
π
1
B
{\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}
给出,其中
π
1
(
B
)
{\displaystyle \pi _{1}(B)}
通过甲板变换 作用于万有覆盖
B
~
{\displaystyle {\widetilde {B}}}
,通过表示ρ作用于F 。
平坦丛符合纤维丛 的框架。若有流形F 使得
∀
b
∈
B
{\displaystyle \forall b\in B}
,都有开邻域U 使得有同胚
φ
:
π
−
1
(
U
)
→
U
×
F
(
π
=
p
1
φ
,
p
1
:
U
×
F
→
U
)
{\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F\ (\pi =p_{1}\varphi ,\ p_{1}:\ U\times F\to U)}
(其中p 1 是到第一个因子的投影),则流形之间的映射
π
:
M
→
B
{\displaystyle \pi :\ M\to B}
是纤维丛。纤维丛产生了由纤维
F
b
:=
π
−
1
(
{
b
}
)
,
b
∈
B
{\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}
组成的叶状结构,其叶空间L 与B 同构,前者是豪斯多夫流形。
覆盖
若
M
→
N
{\displaystyle M\to N}
是流形间的覆盖映射,F 是N 上的叶状结构,则其拉回到M 上的叶状结构。更一般地,若映射只是分歧覆盖 (分歧轨迹 横截于叶状结构),则叶状结构就可以被拉回。
浸没
若
M
n
→
N
q
,
(
q
≤
n
)
{\displaystyle M^{n}\to N^{q},\ (q\leq n)}
是流形的浸没 ,则据反函数定理 ,浸没的纤维的连通组分定义了M 的余维为q 的叶状结构。纤维丛 是这种类型的一个例子。
不是纤维丛的浸没的一个例子是
{
f
:
[
−
1
,
1
]
×
R
→
R
f
(
x
,
y
)
=
(
x
2
−
1
)
e
y
{\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}
这种浸没产生了
[
−
1
,
1
]
×
R
{\displaystyle [-1,\ 1]\times \mathbb {R} }
的叶状结构,在下列
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
作用下是不变的:
z
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
+
n
)
,
or
z
(
x
,
y
)
=
(
(
−
1
)
n
x
,
y
)
{\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}
其中
(
x
,
y
)
∈
[
−
1
,
1
]
×
R
,
n
∈
Z
{\displaystyle (x,\ y)\in [-1,\ 1]\times \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {Z} }
。
Z
∖
(
[
−
1
,
1
]
×
R
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \backslash ([-1,\ 1]\times \mathbb {R} )}
的诱导叶状结构称作(环空的)2维里布叶状结构,或(莫比乌斯带的)2维无向里布叶状结构。它们的叶空间都不是豪斯多夫的。
里布叶状结构
定义一个潜没
{
f
:
D
n
×
R
→
R
f
(
r
,
θ
,
t
)
:=
(
r
2
−
1
)
e
t
{\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}
其中
(
r
,
θ
)
∈
[
0
,
1
]
×
S
n
−
1
{\displaystyle (r,\ \theta )\in [0,\ 1]\times S^{n-1}}
是n 维圆盘
D
n
{\displaystyle D^{n}}
上的圆柱坐标。这浸没产生了
D
n
×
R
{\displaystyle D^{n}\times \mathbb {R} }
的叶状结构,在如下Z 作用下是不变的:
z
(
x
,
y
)
=
(
x
,
y
+
z
)
(
(
x
,
y
)
∈
D
n
×
R
,
z
∈
Z
)
{\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)\ ((x,\ y)\in D^{n}\times \mathbb {R} ,\ z\in \mathbb {Z} )}
Z
∖
(
D
n
×
R
)
{\displaystyle \mathbb {Z} \backslash (D^{n}\times \mathbb {R} )}
的诱导叶状结构被称作n 维里布叶状结构 ,其叶空间不是豪斯多夫的。
对于n = 2,这给出了实心环面的叶状结构,可由沿边界粘合两个实心环面,来定义3-球的里布叶状结构。奇数维球
S
2
n
+
1
{\displaystyle S^{2n+1}}
的叶状结构也是明确已知的。[ 16]
李群
若G 是李群 、H 是李子群,则G 就会被H 的陪集 叶化。若H 在G 中闭合 ,则商空间
G
/
H
{\displaystyle G/H}
是光滑(豪斯多夫 )流形,将G 转化为纤维丛,纤维H 、基为
G
/
H
{\displaystyle G/H}
。这个纤维丛实际上是主 的,具有结构群H 。
李群作用
令G 是光滑作用于流形M 的李群。若作用是局部自由作用或自由作用,则G 的轨道定义了M 的一个叶状结构。
线性叶状结构与克罗内克叶状结构
若
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
是非奇异(即无处为零)的向量场,则
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
定义的局部流拼凑在一起,就定义了维度为1的叶状结构。事实上,给定任一点
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
,由于
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
是非奇异的,所以可找到一个关于x 的坐标邻域
(
U
,
x
1
,
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (U,\ x^{1},\ ,\ldots ,\ x^{n})}
,使得
−
ε
<
x
i
<
ε
,
1
≤
i
≤
n
,
{\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}
∂
∂
x
1
=
X
~
∣
U
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}
从几何角度来看,
X
~
∣
U
{\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}
的流线就是水平集
x
i
=
c
i
,
2
≤
i
≤
n
,
{\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}
其中所有的
|
c
i
|
<
ε
.
{\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}
由惯例,流形是第二可数的,因此类似“长线”这样的叶异常现象会被M 本身的第二可数性排除。要求
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
是完全域(例如M 是紧的),从而要求每片叶都是流线,就可以避开这个难题。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
上的线性叶状结构
F
~
{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}
传递到
T
2
{\displaystyle T^{2}}
上的叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
。 a) 斜率是有理的(线性叶状结构); b) 斜率是无理的(克罗内克叶状结构)。
2-环面上的无理旋转
环面
T
2
{\displaystyle T^{2}}
上的一类重要1维叶状结构来自投影于其上的恒向量场。
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
上的恒向量场
X
~
≡
[
a
b
]
{\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}
对
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
中所有平移都不变,因此当投影到环面
T
2
=
R
2
/
Z
2
{\displaystyle T^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}}
时传递到良定义向量场X 。假定a ≠ 0。
X
~
{\displaystyle {\tilde {X}}}
产生的
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
上的叶状结构
F
~
{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}
的叶具有斜率为
θ
=
b
/
a
{\displaystyle \theta =b/a}
的平行线,这叶状结构在平移下也是不变的,并传递到X 产生的
T
2
{\displaystyle T^{2}}
上的叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
。
F
~
{\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}
每片叶的形式是
L
~
=
{
(
x
0
+
t
a
,
y
0
+
t
b
)
}
t
∈
R
.
{\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}
若斜率是有理 的,则所有叶都是与圆 同胚 的闭合曲线。这时,可取
a
,
b
∈
Z
{\displaystyle a,\ b\in \mathbb {Z} }
。对固定的
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
,
L
~
{\displaystyle {\tilde {L}}}
中与
t
∈
t
0
+
Z
{\displaystyle t\in t_{0}+\mathbb {Z} }
的值对应的点都投影到
T
2
{\displaystyle T^{2}}
的同一点,于是
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
对应的叶L 是
T
2
{\displaystyle T^{2}}
中的嵌入圆。由于L 是任意的,所以
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是
T
2
{\displaystyle T^{2}}
对圆的叶状结构。由此很容易得出,这个叶状结构实际上就是纤维丛
π
:
T
2
→
S
1
{\displaystyle \pi :\ T^{2}\to S^{1}}
,这就是所谓线性叶状结构。
若斜率是无理 的,则叶是非紧的,同胚于非紧实线 ,在环面中稠密 (参无理旋转 )。每个点
(
x
0
,
y
0
)
{\displaystyle (x_{0},\ y_{0})}
的轨迹永远不会回到同一点,而是在环面上产生“处处稠密”的环绕,会任意接近任何给定的点。于是,轨迹的闭包是整个2维环面。这种情形称作克罗内克叶状结构,得名于利奥波德·克罗内克 与
克罗内克稠密性定理 若实数θ不等于π的所有有理倍数,则集合
{
e
i
n
θ
|
n
∈
Z
}
{\displaystyle \{e^{in\theta }|n\in \mathbb {Z} \}}
在单位圆内稠密。
用平行线对
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
进行叶状结构的类似构造,可得与环面上的线性流相关的n -环面
R
n
/
Z
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}
的1维叶状结构。
纬悬叶状结构
平坦丛不仅有对纤维的线性结构,还有横截于纤维的叶状结构,其叶为
L
f
:=
{
p
(
b
~
,
f
)
:
b
~
∈
B
~
}
,
for
f
∈
F
,
{\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}
其中
p
:
B
~
×
F
→
M
{\displaystyle p:\ {\widetilde {B}}\times F\to M}
是规范投影。这个叶状结构称作表示
ρ
:
π
1
(
B
)
→
H
o
m
e
o
(
F
)
{\displaystyle \rho :\ \pi _{1}(B)\to {\rm {Homeo}}(F)}
的纬悬。
具体地说,若
B
=
S
1
{\displaystyle B=S^{1}}
,
φ
:
F
→
F
{\displaystyle \varphi :F\to F}
是F 的同胚,则
φ
{\displaystyle \varphi }
的纬悬叶状结构定义为表示
ρ
:
Z
→
H
o
m
e
o
(
F
)
{\displaystyle \rho :\ \mathbb {Z} \to {\rm {Homeo}}(F)}
的纬悬叶状结构,由
ρ
(
z
)
=
Φ
z
{\displaystyle \rho (z)=\Phi ^{z}}
给出。其叶空间是
L
=
F
/
∼
{\displaystyle L={\mathcal {F}}/\sim }
,其中只要对某个
n
∈
Z
,
y
=
Φ
n
(
x
)
,
x
∼
y
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,\ y=\Phi ^{n}(x),\ x\sim y}
。
纬悬叶状结构最简单的例子是q 维流形X 。令
f
:
X
→
X
{\displaystyle f:\ X\to X}
是双射。将纬悬
M
=
S
1
×
f
X
{\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X}
定义为
[
0
,
1
]
×
X
{\displaystyle [0,\ 1]\times X}
对等价关系
(
1
,
x
)
∼
(
0
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (1,\ x)\sim (0,\ f(x))}
的商。
M
=
S
1
×
f
X
=
[
0
,
1
]
×
X
{\displaystyle M=S^{1}\times _{f}X=[0,\ 1]\times X}
则,M 自动携带两个叶状结构:
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}
包含
F
2
,
t
=
{
(
t
,
x
)
∼
:
x
∈
X
}
{\displaystyle F_{2,\ t}=\{(t,\ x)_{\sim }:\ x\in X\}}
形式的集合;
F
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}
包含
F
2
,
x
0
=
{
(
t
,
x
)
:
t
∈
[
0
,
1
]
,
x
∈
O
x
0
}
{\displaystyle F_{2,\ x_{0}}=\{(t,\ x):\ t\in [0,\ 1],\ x\in O_{x_{0}}\}}
形式的集合,其中轨道
O
x
0
{\displaystyle O_{x_{0}}}
定义为
O
x
0
=
{
…
,
f
−
2
(
x
0
)
,
f
−
1
(
x
0
)
,
x
0
,
f
(
x
0
)
,
f
2
(
x
0
)
,
…
}
{\displaystyle O_{x_{0}}=\{\ldots ,\ f^{-2}(x_{0}),\ f^{-1}(x_{0}),\ x_{0},\ f(x_{0}),\ f^{2}(x_{0}),\ \ldots \}}
其中指数指的是函数f 与自身复合的次数。注意
O
x
0
=
O
f
(
x
0
)
=
O
f
−
2
(
x
0
)
,
e
t
c
.
{\displaystyle O_{x_{0}}=O_{f(x_{0})}=O_{f^{-2}(x_{0})},\ {\rm {etc.}}}
,对
F
1
,
x
0
{\displaystyle F_{1,\ x_{0}}}
也同样。理解叶状结构
F
1
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}
等效于理解映射f 的动力学。若流形X 已经叶化,则只要f 是叶间映射,就可以利用这构造增加叶状结构的余维数。
2-环面的克罗内克叶状结构是旋转
R
α
:
S
1
→
S
1
{\displaystyle R_{\alpha }:\ S^{1}\to S^{1}}
(角度为
α
∈
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle \alpha \in [0,\ 2\pi )}
)的纬悬叶状结构。
切割重粘后,2-洞环面的纬悬。 a) 带待切割截面的双洞环面; b) 切割后带有4个面的几何图形。
更具体地说,若
Σ
=
Σ
2
{\displaystyle \Sigma =\Sigma _{2}}
是2洞环面,
C
1
,
C
2
∈
Σ
{\displaystyle C^{1},\ C^{2}\in \Sigma }
是两个嵌入圆,则
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
是叶
Σ
×
{
y
}
,
y
∈
S
1
{\displaystyle \Sigma \times \{y\},\ y\in S^{1}}
的3-流形的积叶状结构
M
=
Σ
×
S
1
{\displaystyle M=\Sigma \times S^{1}}
。注意
N
i
=
C
i
×
S
1
{\displaystyle N_{i}=C_{i}\times S^{1}}
是嵌入环,
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
横截于
N
i
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle N_{i},\ i=1,\ 2}
。令
D
i
f
f
+
(
S
1
)
{\displaystyle {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}
表示
S
1
{\displaystyle S^{1}}
的保向微分同胚群,并择
f
1
,
f
2
∈
D
i
f
f
+
(
S
1
)
{\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}
。将M 沿
N
1
,
N
2
{\displaystyle N_{1},\ N_{2}}
切开,
N
i
+
,
N
i
−
{\displaystyle N_{i}^{+},\ N_{i}^{-}}
表示它们的副本。这时,流形
M
′
=
Σ
′
×
S
1
{\displaystyle M'=\Sigma '\times S_{1}}
有4个边界分量
{
N
i
±
}
i
=
1
,
2
.
{\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}
叶状结构
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
横截边界
∂
M
′
{\displaystyle \partial M'}
的叶状结构
F
′
{\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}
,叶的形式为
Σ
′
×
{
y
}
,
y
∈
S
1
{\displaystyle \Sigma '\times \{y\},\ y\in S^{1}}
。
这片叶在4个圆
C
i
±
×
{
y
}
⊂
N
i
±
{\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }}
中与
∂
M
′
{\displaystyle \partial M'}
相遇。若
z
∈
C
i
{\displaystyle z\in C_{i}}
,则
C
i
±
{\displaystyle C_{i}^{\pm }}
中的对应点记作
z
±
{\displaystyle z^{\pm }}
,
N
i
−
{\displaystyle N_{i}^{-}}
通过下列标识,“回到”
N
i
+
{\displaystyle N_{i}^{+}}
:
(
z
−
,
y
)
≡
(
z
+
,
f
i
(
y
)
)
,
i
=
1
,
2.
{\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}
由于
f
1
,
f
2
{\displaystyle f_{1},\ f_{2}}
是
S
1
{\displaystyle S^{1}}
的保向微分同胚,因此与恒同(identity)同痕,由这操作得到的流形同胚于M 。
F
′
{\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}
的叶则重新组合,产生M 新的叶状结构
F
(
f
1
,
f
2
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})}
。若
F
(
f
1
,
f
2
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})}
的叶L 包含一片
Σ
′
×
{
y
0
}
{\displaystyle \Sigma '\times \{y_{0}\}}
,则
L
=
⋃
g
∈
G
Σ
′
×
{
g
(
y
0
)
}
,
{\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}
其中
G
⊂
D
i
f
f
+
(
S
1
)
{\displaystyle G\subset {\rm {Diff}}_{+}(S^{1})}
是由
{
f
1
,
f
2
}
{\displaystyle \{f_{1},\ f_{2}\}}
生成的子群。这些Σ'的副本通过标识彼此相连:
∀
z
∈
C
1
,
(
z
−
,
g
(
y
0
)
)
≡
(
z
+
,
f
1
(
g
(
y
0
)
)
)
{\displaystyle \forall z\in C_{1},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{1}(g(y_{0})))}
∀
z
∈
C
2
,
(
z
−
,
g
(
y
0
)
)
≡
(
z
+
,
f
2
(
g
(
y
0
)
)
)
{\displaystyle \forall z\in C_{2},\ (z^{-},\ g(y_{0}))\equiv (z^{+},\ f_{2}(g(y_{0})))}
其中g 在G 上取值。叶完全由
y
0
∈
S
1
{\displaystyle y_{0}\in S^{1}}
的G -轨道决定,可以很简单也可以很复杂。例如若相应的G -轨道有限,则叶就是紧的。举个极端的例子,若G 是平凡的
(
f
1
=
f
2
=
i
d
S
1
)
{\displaystyle (f_{1}=f_{2}={\rm {id}}_{S^{1}})}
,则
F
(
f
1
,
f
2
)
=
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}(f_{1},\ f_{2})={\mathcal {F}}}
。若轨道在
S
1
{\displaystyle S^{1}}
中是稠密的,则对应的叶在M 中也稠密。例如,若
f
1
,
f
2
{\displaystyle f_{1},\ f_{2}}
是2π的有理独立倍的旋转,则每片叶都是稠密的。其他例子中,某些叶L 的闭包
L
¯
{\displaystyle {\bar {L}}}
与每个因子
{
w
}
×
S
1
{\displaystyle \{w\}\times S^{1}}
在康托尔集 中相遇。在
Σ
×
I
{\displaystyle \Sigma \times I}
上也可做类似构造,其中I 是紧非退化区间。这里,取
f
1
,
f
2
∈
D
i
f
f
+
(
I
)
{\displaystyle f_{1},\ f_{2}\in {\rm {Diff}}_{+}(I)}
,由于
∂
I
{\displaystyle \partial I}
通过所有保向微分同胚逐点固定了,所以可得一个以
∂
M
{\displaystyle \partial M}
的两分量为叶的叶状结构。若在这情形下形成M' ,就会得到有角叶状流形。无论哪种情形,这种构造都被称作微分同胚对的纬悬,提供了余维为1的叶状结构的有趣例子。
叶状结构与可积性
假设一切都光滑 ,那么向量场 之间有一种密切关系:给定M 上不为零的向量场X ,其积分曲线 将给出1维叶状结构(即余维为n -1的叶状结构)。
这观察可推广为弗罗贝尼乌斯定理 ,即分布(流形切丛 的n − p 维子丛 )与叶状结构的叶相切的充分必要条件 是,与分布相切的向量场集对李括号 闭合。这也可以解释为,将切丛 的结构群从
G
L
(
n
)
{\displaystyle {\rm {GL}}(n)}
约化为可约群。
弗罗贝尼乌斯定理中的条件作为可积条件 出现,并断言若满足条件,就能约化,因为具有所需块结构的局部转移函数存在。例如,对某(非规范)
α
∈
Ω
1
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}}
(即非零余向量场),余维为1时可定义叶状结构的切丛为
k
e
r
(
α
)
{\displaystyle {\rm {ker}}(\alpha )}
。若处处都有
α
∧
d
α
=
0
{\displaystyle \alpha \wedge {\rm {d}}\alpha =0}
,则给定的α可积。
由于存在拓扑约束,因此存在全局叶状结构理论。例如,曲面 情形中,处处非零向量场只能存在于环面 的有向 紧 曲面上。这是庞加莱-霍普夫定理 的结果,指出欧拉示性数 需为0。其与切触几何 有很多深层联系,专门研究不可积情形。
叶状结构的存在
Haefliger (1970 )给出连通非紧流形上的分布与可积分布同伦的充分必要条件。Thurston (1974 , 1976 ) 证明,任意有分布的紧流形都有同维度的叶状结构。
参看
脚注
参考文献
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Candel, Alberto; Conlon, Lawrence. Foliations I. Graduate Studies in Mathematics 23 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . 2000. ISBN 0-8218-0809-5 .
Candel, Alberto; Conlon, Lawrence. Foliations II. Graduate Studies in Mathematics 60 . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . 2003. ISBN 0-8218-0809-5 .
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Haefliger, André, Feuilletages sur les variétés ouvertes, Topology , 1970, 9 (2): 183–194, ISSN 0040-9383 , MR 0263104 , doi:10.1016/0040-9383(70)90040-6
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Moerdijk, Ieke ; Mrčun, J., Introduction to foliations and Lie groupoids, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 91 , Cambridge University Press , 2003, ISBN 978-0-521-83197-0 , MR 2012261
Reeb, Georges, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Sci. Ind., no. 1183, Hermann & Cie., Paris, 1952, MR 0055692
Thurston, William, The theory of foliations of codimension greater than one , Commentarii Mathematici Helvetici , 1974, 49 : 214–231, ISSN 0010-2571 , MR 0370619 , S2CID 120603728 , doi:10.1007/BF02566730 [失效链接 ]
Thurston, William P. , Existence of codimension-one foliations, Annals of Mathematics , Second Series, 1976, 104 (2): 249–268, ISSN 0003-486X , JSTOR 1971047 , MR 0425985 , doi:10.2307/1971047
外部链接