在维基百科:知识问答/存档/结构式讨论的话题

袋中有2008顆球，分別編號1,2,3,......,2008，每顆球被取出的機率相等，任取3顆球，這3顆球中編號最大者的編號為x，求x的期望值？謝謝！

從某處看到的蠻有意思的題目，答案是6027/4，但是我不會。

1. 2008颗球任取三颗，共$C_{2008}^{3}$种取法；
2. 三颗中最大值为1和2不可能，从最大者为3开始至2008，编号最大为 $x$ 时，有$C_{x-1}^{2}$种取法；

期望值：

$\sum _{x=3}^{2008}x\cdot {\frac {C_{x-1}^{2}}{C_{2008}^{3}}}$

计算中会用到：

$C_{b}^{a}={\frac {b!}{a!\cdot (b-a)!}}$

$\sum _{x=1}^{n}x^{2}=n(n+1)(2n+1)/6$

$\sum _{x=a}^{b}x=(a+b)(b-a+1)/2$

数字比较大但应该还是可以手算的。

是否還要用到${b+1 \choose a+1}={b \choose a}+{b \choose a+1}$？

${2008 \choose 3}$是常数，可以直接拆出来。 $x{{x-1} \choose 2}={\frac {x!}{2!(x-3)!}}={\frac {1}{2}}x(x-1)(x-2)={\frac {1}{2}}(x^{3}-3x^{2}+2x)$。常数拆出来，每一项单独求和。

$\sum _{x=3}^{2008}x\cdot {\frac {x-1 \choose 2}{2008 \choose 3}}=\sum _{x=3}^{2008}\left(x\cdot {\frac {(x-1)!}{2!\cdot (x-3)!}}\cdot {\frac {6}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\right)=\sum _{x=3}^{2008}\left({\frac {x!}{3!\cdot (x-3)!}}\cdot {\frac {6\cdot 3}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\right)={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot \sum _{x=3}^{2008}{x \choose 3}$

單獨算$\sum _{x=3}^{2008}{x \choose 3}$

$={3 \choose 3}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={4 \choose 4}+{4 \choose 3}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={5 \choose 4}+{5 \choose 3}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={6 \choose 4}+{6 \choose 3}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={7 \choose 4}+\cdots +{2008 \choose 3}$

$={2008 \choose 4}+{2008 \choose 3}$

$={2009 \choose 4}$

期望值$={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot {2009 \choose 4}={\frac {18}{2008\cdot 2007\cdot 2006}}\cdot {\frac {2009\cdot 2008\cdot 2007\cdot 2006}{24}}={\frac {6027}{4}}$