跳转到内容

黎曼ξ函數

维基百科,自由的百科全书
複平面中的黎曼ξ函數複平面中的點,其色彩代表了該點的函數值;較暗的顏色表示其值接近於零,而色調表示了函數值的幅角

數學中,黎曼ξ函數(英語:Riemann Xi function)是黎曼ζ函數的變型,其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼

定義

愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數(另參見下方),而蘭道的小寫ξ函數則定義為:[1]

其中

蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式(或稱反射式英语reflection formula)為

蘭道的大寫Ξ函數(loc. cit., §71)為

遵守泛函方程式:

一如蘭道所寫(loc. cit., p. 894),Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。

函數值

s偶數,亦即s = 2n,ξ(s)一般式為

其中Bn為第n伯努利數

例如:

級數表示式

其中

相關條目

參考文獻

  1. ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.