複平面中的黎曼ξ函數
。複平面中的點
,其色彩代表了該點的函數值;較暗的顏色表示其值接近於零,而色調表示了函數值的幅角。
數學中,黎曼ξ函數(英語:Riemann Xi function)是黎曼ζ函數的變型,其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名於波恩哈德·黎曼。
定義
愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數(另參見下方),而蘭道的小寫ξ函數則定義為:[1]
,
其中
;
- ζ(s)為黎曼ζ函數;
- Γ(s)為伽瑪函數。
蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式(或稱反射式)為
。
蘭道的大寫Ξ函數(loc. cit., §71)為
![{\displaystyle \Xi (z)=\xi ({\frac {1}{2}}+zi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff831b0fe3f1625dab8a6024ca109e79997347a)
遵守泛函方程式:
。
一如蘭道所寫(loc. cit., p. 894),Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。
函數值
當s為偶數,亦即s = 2n,ξ(s)一般式為
![{\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {1}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n^{2}-n)(n-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63ea530e732e7bd0b10d4adcafed2a76d77c6625)
其中Bn為第n個伯努利數。
例如:
![{\displaystyle \xi (2)={\pi ^{2} \over 6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b6a7eb1b5dc8dbc5178eaa8a3c815a8d7c355d)
級數表示式
其中
相關條目
參考文獻
- ^ Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909. Third edition Chelsea, New York, 1974, §70.