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葛立恆數 由美国 数学家罗纳德·葛利恒 提出，曾經被視為在正式數學證明 中出現過最大的數，它大得連高德納箭號表示法 也難以簡單表示，而必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來。馬丁·加德納 於1977年11月在美國科學人雜誌 的「數學遊戲」專欄將此數刊登出來，1980年被金氏世界紀錄 定為在正式數學證明 中出現過最大的數。
一個將三維立方體的邊，著上紅藍二色的例子。此例中恰存在一個「四頂點 共平面且單色的完全子圖」，子圖繪於三維立方體的下方。注意到若將此子圖的下方改成蓝色，則此例將不再含有「四頂點共平面且單色的完全子圖」，也就提供了一個反例，證明
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
葛立恆數與拉姆齊理論 有關：考慮一個
n
{\displaystyle n}
超立方体 ，在連結所有頂點 後，將形成一個
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
頂點 的完全圖 。將這個圖的每條邊填上紅色或藍色。求
n
{\displaystyle n}
在1971年Graham與Rothschild證明了此題之解
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
6
≤
N
∗
≤
N
{\displaystyle 6\leq N^{*}\leq N}
N
{\displaystyle N}
F
7
(
12
)
=
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
F
(
12
)
)
)
)
)
)
)
{\displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}
高德納箭號表示法 ，
F
{\displaystyle F}
F
(
n
)
=
2
↑
n
3
{\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}
康威鏈式箭號表示法 也可以表示此數的大略範圍，此數介於
4
→
2
→
8
→
2
{\displaystyle 4\rightarrow 2\rightarrow 8\rightarrow 2}
2
→
3
→
9
→
2
{\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 9\rightarrow 2}
[ 1]
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
2
↑↑
2
↑↑
(
3
+
2
↑↑
8
)
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)}
[ 2]
N
″
=
(
2
↑↑
5138
)
×
(
(
2
↑↑
5140
)
↑↑
(
2
×
2
↑↑
5137
)
)
≪
2
↑↑
(
2
↑↑
5138
)
{\displaystyle N''=(2\uparrow \uparrow 5138)\times ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 5138)}
[ 3] [ 4]
N
∗
{\displaystyle N^{*}}
13
≤
N
∗
≤
N
″
{\displaystyle 13\leq N^{*}\leq N''}
葛立恆數
G
{\displaystyle G}
N
{\displaystyle N}
G
{\displaystyle G}
f
64
(
4
)
{\displaystyle f^{64}(4)}
f
(
n
)
=
3
↑
n
3
{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}
科學人雜誌 [ 5]
定義函數
f
(
n
)
=
3
↑
n
3
=
3
[
n
+
2
]
3
=
3
→
3
→
n
{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}
高德納箭號表示法 、超運算 、康威鏈式箭號表示法 ），則葛立恆數可使用疊代函數 表示為
f
64
(
4
)
{\displaystyle f^{64}(4)}
雖然葛立恆數不可以用康威鏈式箭號表示法很方便地表達，但康威鏈式箭號表示法能為它簡單地定上下界：
3
→
3
→
64
→
2
<
{\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<}
<
3
→
3
→
65
→
2
{\displaystyle <3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}
使用高德納箭號表示法來表示葛立恆數：
G
=
3
↑
3
↑
3
↑
⋅
⋅
⋅
3
↑↑↑↑
3
⋅
⋅
⋅
3
3
3
⏟
64
layers
=
3
↑↑
⋯
⋯
⋯
⋯
↑
⏟
3
↑↑
⋯
⋯
⋯
↑
⏟
⋮
⏟
3
↑↑
⋯
↑
⏟
3
↑↑↑↑
3
3
3
3
}
64
layers
{\displaystyle G=\underbrace {3\uparrow ^{3\uparrow ^{3\uparrow ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}\cdot }\cdot }\cdot }3}3}3} _{64{\text{ layers}}}=\left.3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } _{\displaystyle \underbrace {\qquad \vdots \qquad } _{\displaystyle 3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } _{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}}3}3\right\}64{\text{ layers}}}
利用超運算 ，葛立恆數G 可以表示為：
3
[
3
[
3
[
⋯
3
[
3
[
3
⏟
64
[
6
]
3
+
2
]
3
+
2
]
3
⋯
]
3
+
2
]
3
+
2
]
3
{\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}
其中，
64
{\displaystyle 64}
G 值需要經過64步，首先從最內層開始計算：
g
1
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
(
3
[
5
]
3
)
=
3
[
4
]
(
3
[
4
]
(
3
[
4
]
⋯
(
3
[
4
]
(
3
[
4
]
3
⏟
3
[
5
]
3
)
)
⋯
)
)
{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}
讓：
X
=
3
[
5
]
3
=
3
[
4
]
(
3
[
4
]
3
)
=
3
[
4
]
(
3
[
3
]
(
3
[
3
]
3
)
)
=
3
[
4
]
(
3
[
3
]
27
)
{\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}
=
3
[
4
]
7625597484987
=
3
[
3
]
3
[
3
]
⋯
[
3
]
3
⏟
7625597484987
=
3
3
.
.
.
3
⏟
7625597484987
{\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}
迭代冪次 ）
g
1
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
(
3
[
5
]
3
)
=
3
[
5
]
X
=
3
[
4
]
3
[
4
]
⋯
[
4
]
3
⏟
X
=
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
⋮
⏟
3
}
X
{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}
給定函數：
f
(
n
)
=
3
[
n
+
2
]
3
{\displaystyle f(n)=3[n+2]3}
例如：
f
(
1
)
=
3
[
3
]
3
,
f
(
2
)
=
3
[
4
]
3
{\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}
g
1
=
f
(
4
)
=
3
[
6
]
3
=
3
[
5
]
X
=
3
[
4
]
3
[
4
]
⋯
[
4
]
3
⏟
X
=
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
⋮
⏟
3
}
X
{\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}
然後計算g2 ：
g
2
=
f
2
(
4
)
=
f
(
f
(
4
)
)
=
3
[
g
1
+
2
]
3
{\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}
接著計算：
g
3
=
f
(
f
2
(
4
)
)
=
3
[
g
2
+
2
]
3
{\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}
⋮
⋮
{\displaystyle \vdots \vdots }
g
63
=
f
(
f
62
(
4
)
)
=
3
[
g
62
+
2
]
3
{\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}
最後：
G
=
g
64
=
f
64
(
4
)
=
f
(
f
(
⋯
f
⏟
64
(
4
)
⋯
)
)
=
3
[
g
63
+
2
]
3
{\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}
一般來說：
g
n
=
3
[
g
n
−
1
+
2
]
3
{\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}
其中：
f
2
(
n
)
=
f
(
f
(
n
)
)
,
f
3
(
n
)
=
f
(
f
(
f
(
n
)
)
)
,
{\displaystyle f^{2}(n)=f(f(n)),\ f^{3}(n)=f(f(f(n))),}
...
69789 01699 96590 70368 75647 69571 41995 17294 68405 82682
71081 20793 88857 60678 08905 76605 97351 28204 06609 18730
71084 83992 11311 79579 18089 16067 30297 76868 73493 26380
38255 18970 12211 05348 18861 41584 87485 19200 98526 10652
52039 48232 20737 11493 41083 91687 37854 40379 86033 68448
47205 27292 48390 75786 66178 05529 41415 71193 66603 08189
28819 36678 77414 82317 80172 81269 34985 73578 32709 50758
57659 19749 47039 19315 29675 96669 23404 88030 23624 47049
10353 17809 08226 11674 69507 74641 91287 72824 43305 83239
50925 25499 35509 25261 68572 45956 57413 17934 41675 01485
02425 95069 50647 38395 65747 91365 19351 79833 45353 62521
43003 54012 60267 71622 67216 04198 10652 26316 93551 88780
38814 48314 06525 26168 78509 55526 46051 07117 20009 97092
91249 54437 88874 96062 88291 17250 63001 30362 29349 16080
25459 46149 45788 71427 83235 08292 42102 09182 58967 53560
43086 99380 16892 49889 26809 95101 69055 91995 11950 27887
17830 83701 83402 36474 54888 22221 61573 22801 01329 74509
27344 59450 43433 00901 09692 80253 52751 83328 98844 61508
94042 48265 01819 38515 62535 79639 96189 93967 90549 66380
03222 34872 39670 18485 18643 90591 04575 62726 24641 95387.
事實上，對於所有正整數
n
>
500
{\displaystyle n>500}
3
[
4
]
n
{\displaystyle 3[4]n}
![{\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3=3[n+2]3=3\rightarrow 3\rightarrow n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c205135c5868714565597ad7dd3312712970caf5)
![{\displaystyle \underbrace {3[3[3[\cdots 3[3[3} _{64}[6]3+2]3+2]3\cdots ]3+2]3+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac037f93f36cc009e995269c9a3863bd50cb217c)
![{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=\underbrace {3[4](3[4](3[4]\cdots (3[4](3[4]3} _{3[5]3}))\cdots ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fcc8ab48752a37e4b38010563d8da8b2323f16a)
![{\displaystyle X=3[5]3=3[4](3[4]3)=3[4](3[3](3[3]3))=3[4](3[3]27)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdbe2dd179e76e0a303b330e9abc5b2bdb2266d1)
![{\displaystyle =3[4]7625597484987=\underbrace {3[3]3[3]\cdots [3]3} _{7625597484987}=\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} _{7625597484987}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70b65cb3c353c26f8865446ff050f0c91346056)
![{\displaystyle g_{1}=3[6]3=3[5](3[5]3)=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f2bc62d8e680607150ff4cbb6fd720780815c26)
![{\displaystyle f(n)=3[n+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba593e9542483f155f2a5215216c17f1da5de6c3)
![{\displaystyle f(1)=3[3]3,\ f(2)=3[4]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326a0c4ee15bd3ca47074ff8a29a1cc357753395)
![{\displaystyle g_{1}=f(4)=3[6]3=3[5]X=\underbrace {3[4]3[4]\cdots [4]3} _{X}=\left.\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {3^{3^{.^{.^{.{3}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{3}}}\right\}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0de8bd018fd73e0926241102f0eb481d02c2f1d5)
![{\displaystyle g_{2}=f^{2}(4)=f(f(4))=3[g_{1}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6903dae68a064b44d65f0b44ba1874861ff8c892)
![{\displaystyle g_{3}=f(f^{2}(4))=3[g_{2}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68374d7566e856889bace2b6c3f9b443a9610a23)
![{\displaystyle g_{63}=f(f^{62}(4))=3[g_{62}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80938fc345817165fadb37a1d4b7abf13f75c43f)
![{\displaystyle G=g_{64}=f^{64}(4)=\underbrace {f(f(\cdots f} _{64}(4)\cdots ))=3[g_{63}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367691f36ff609b7a50eab6dd09fd0d1925cf2d7)
![{\displaystyle g_{n}=3[g_{n-1}+2]3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdced4a679ab6f725a7f0bc8d13c1e658c018ca)
![{\displaystyle 3[4]n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012f7fe889ecc78f826dbde8268958175922f4a2)
[math.CO].
