舒尔正交关系(英語:Schur orthogonality relations)描述了有限群表示中的核心事实。它可以推广到一般的紧群,特别是紧李群,比如旋转群 SO(3)。此關係可藉由舒尔引理證明。
有限群
令
是一个 |G| 阶(即 G 有 |G| 个元素)有限群
的一个不可约矩阵表示
的矩阵元素。因为可以证明任何有限群的不可约矩阵表示等价于一个酉表示,我们假设
是酉的:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{l_{\lambda }}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nk}=\delta _{mk}\quad {\hbox{for all}}\quad R\in G,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185f49a4f953c95f2a6722ab446732e279676661)
这里
是表示
的(有限)维数[1]。
正交关系,只对不可约表示的矩阵元素成立,是
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{n'm'}=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/568186d237ac3ca656729505e6739c67eca4672c)
这里
是
的複共轭,求和遍及 G 的所有元素。如果两个矩阵是在同一个不可约表示
,则克罗内克函数
是单位;如果
与
不等价则
为零。其他两个克罗内克函数則要求行与列的指标必须相等(
和
)才能得到一个非零的结果。这个定义也叫做广义正交定理。
每个群有一个单位表示(所有群元素映为实数 1),这显然是一个不可约表示。舒尔正交关系马上给出
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\;\Gamma ^{(\mu )}(R)_{nm}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/312f6f38b286896ebe11088e4d64146f3461ebff)
对
,此式對任何不等于单位表示的不可约表示
成立。
例子
三个对象的 3! 个置换组成一个 6 阶群,通常记作
(对称群)。这个群同构于点群
,由三重旋转轴以及三个铅直镜面平面组成。这个群有一个二维不可约表示(l = 2)。在
情形,通常将这个不可约表示利用杨氏表(杨氏矩阵)记作
而在
情形通常写成
。在两种情形不可约表示都由如下六个实矩阵组成,每个代表一个群元素[2]
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4103fa2f4b0a55197eb845dba46690eee6d1ff7)
元素 (1,1) 的正规化为:
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{11}=1^{2}+1^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e79050cb14da8a62d27c4bdef681b7af6b8222)
同样可以证明其它矩阵元素 (2,2)、(1,2) 与 (2,1) 的正规化。元素 (1,1) 与 (2,2) 的正交性:
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{6}\;\Gamma (R)_{11}^{*}\;\Gamma (R)_{22}=1^{2}+(1)(-1)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\tfrac {1}{2}}\right)+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+\left(-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d403e455acaae48819ed3db02c9c2c351a571b)
类似的关系对元素 (1,1) 与 (1,2) 的正交性成立,如是等等。容易验证此例中所有对应矩阵元素之和为零,因为给定表示与恒等表示的正交性。
直接推论
矩阵的迹是对角矩阵元素之和,
.
所有迹的集合
是一个表示的特征标。通常将一个不可约表示中矩阵的迹写成
.
利用这种记号我们可写出多个特征标公式:
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi ^{(\mu )}(R)=\delta _{\lambda \mu }|G|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e6835adeea8e5ed31869b749656b481533901a)
这可以用来检验一个表示是否是可约的(这些公式说明在任意特征标表中一行是正交向量)。以及
![{\displaystyle \sum _{R\in G}^{|G|}\chi ^{(\lambda )}(R)^{*}\,\chi (R)=n^{(\lambda )}|G|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc11f985dd9121c338b2f7290ca18bcdba8fd53)
这帮助我们确认不可约表示
在具有特征标
的可约表示
中包含的次数。
例如,如果
![{\displaystyle n^{(\lambda )}\,|G|=96}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9452e828cb5c97908d668972babbd8a76c17fe19)
这个群的阶是
![{\displaystyle |G|=24\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5733902cbbc12da45be0ec829aa811778c726bc2)
则
在给定“可约”表示
中包含的次数是
![{\displaystyle n^{(\lambda )}=4\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e5248089864ebf63cdf4dbe01ddafda2d3508b1)
关于群特征表参见特征标理论。
紧群
有限群的正交关系推广为紧群(包含紧李群,比如 SO(3))本质上是简单的:只要将在群上的求和换成在群上的积分。
每个紧群
有惟一一个双不变哈尔测度,使得群的体积是 1。将这个测度记成
。设
是
的不可约表示的一个完备集合,设
是表示
的矩阵系数。正交关系可以叙述为两部分
1) 如果
则:
![{\displaystyle \int _{G}\phi _{v,w}^{\alpha }(g)\phi _{v',w'}^{\beta }(g)dg=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b9a22fd03325b56f5d1c96a2b9dcee4a657a91b)
2)如果
是表示空间
的一个正交规范基,则:
![{\displaystyle d^{\alpha }\int _{G}\phi _{e_{i},e_{j}}^{\alpha }(g)\phi _{e_{m},e_{n}}^{\alpha }(g)dg=\delta _{i,m}\delta _{j,n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd454d18fa8b5cfc2a4647d7ca197cf7270829ea)
这里
是
的维数。这些正交关系以及所有表示的维数有限是彼得-外尔定理的推论。
例 ![{\displaystyle SO(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c677fee782e584fd417726201ce27c567f1e11)
一个三参数群的例子是矩阵群 SO(3),有所有 3×3 正交矩阵组成。这个群的一个可能的参数化是利用欧拉角:
。界限是
以及
。
体积元素
的计算不仅取决于参数的选取,也取决于最终结果,即加权函数(测度)
的解析形式。
例如,SO(3) 的欧拉角参数化给出权重
,而 n, ψ 参数化给出权重t
,其中
。
可以证明一个紧李群的不可约表示是有限维的并可选成酉的:
![{\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(R^{-1})=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{-1}=\Gamma ^{(\lambda )}(R)^{\dagger }\quad {\hbox{with}}\quad \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{mn}^{\dagger }\equiv \Gamma ^{(\lambda )}(R)_{nm}^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f21ad13a51f373e66b86a38980f7a8a482367c37)
简记成
![{\displaystyle \Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )=\Gamma ^{(\lambda )}{\Big (}R(\mathbf {x} ){\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f42f6e537927d1d9ee4124c410b13a217cec2573)
正交关系具有形式
![{\displaystyle \int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\;\Gamma ^{(\lambda )}(\mathbf {x} )_{nm}^{*}\Gamma ^{(\mu )}(\mathbf {x} )_{n'm'}\;\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}\;=\delta _{\lambda \mu }\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {|G|}{l_{\lambda }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2ccfcaac6bcd731ecf37ee207cc2a38547fc49)
群的体积是
![{\displaystyle |G|=\int _{x_{1}^{0}}^{x_{1}^{1}}\cdots \int _{x_{r}^{0}}^{x_{r}^{1}}\omega (\mathbf {x} )dx_{1}\cdots dx_{r}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4508c6e192b993799d6e4a4f05a6e07f9d10b71)
我们注意到 SO(3) 的不可约表示是维格纳D-矩阵(Wigner D-matrix)
,它们的维数是
。故
![{\displaystyle |SO(3)|=\int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }\sin \!\beta \,d\beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma =8\pi ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/781366b6c7dea9977a1bb8d2b1df8d639e2bd6cf)
它们满足
![{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }D^{\ell }(\alpha \beta \gamma )_{nm}^{*}\;D^{\ell '}(\alpha \beta \gamma )_{n'm'}\;\sin \!\beta \,d\alpha \,d\beta \,d\gamma =\delta _{\ell \ell '}\delta _{nn'}\delta _{mm'}{\frac {8\pi ^{2}}{2\ell +1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b1db1fb4853252051af1bd231d25584e84909e)
脚注
- ^
的有限性是由于一个有限群 G 的不可约表示包含于正则表示。
- ^ 这种选择不是惟一的,这个矩阵的任意正交相似变换给出一个等价的不可约表示。
参考文献
任何以物理或化学为目的的群表示论书籍中都会提到正交关系。下面更高等的书籍给出了证明:
- M. Hamermesh, Group Theory and its Applications to Physical Problems, Addison-Wesley, Reading (1962). (Reprinted by Dover).
- W. Miller, Jr., Symmetry Groups and their Applications, Academic Press, New York (1972).
- J. F. Cornwell, Group Theory in Physics, (Three volumes), Volume 1, Academic Press, New York (1997).