質數階乘
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質數階乘(又稱:质数階乘)是所有小於或等於該數的質數的積,自然數n的質數階乘,寫作n#。例如10以下的質數有:2、3、5、7,所以10# = 7×5×3×2 = 210。第n個質數階乘的值,寫作pn#。例:第三個質數為5,所以p3# = 5# = 5×3×2 = 30。 質數階乘與階乘不同於,質數階乘是質數乘積而階乘是自然數乘積。 質數階乘由Harvey Dubner定義並命名。
用質數定義
第n個質數pn的質數階乘pn#定義為前n個質數的積:[1][2]
其中pk是第k個質數。
例如,p5#代表前五個質數的乘積:
前幾個質數階乘pn#是:
並定義p0# = 1 為空積。
質數階乘pn#的漸進遞增為:
其中:
用自然數定義
一般情況下,對於正整數n的一質數階乘n#(或稱作自然質數階乘)也可以被定義為:[1][3]
其中,π(n)是質數計數函數(OEIS數列A000720),表示小於或等於某個實數n的質數的個數。
它等於:
例如,12# 代表質數≤ 12:
因為π(12) = 5,所以這個算式也可以寫成:
前幾個自然質數階乘n#是:
不難發現當n為合成數時,n#的值總是與(n-1)#相同。例如上面提及的12# = p5# = 11#,因為12為合成數。
n#的自然對數是第一個切比雪夫函數,记為 或 。換句話說,若是不大於n的質數的質數階乘,則,或等價地,[4]
質數階乘n#的漸進遞增為:
質數階乘的概念可以用於證明素數是無限的。(參見證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式)
恆等式
黎曼ζ函數在超過1的正整數可以質數階乘與 Jordan's totient function 表示:
質數階乘列表(部分)
n | n# | pn | pn# |
---|---|---|---|
0 | 1 | 無質數 | 1 |
1 | 1 | 2 | 2 |
2 | 2 | 3 | 6 |
3 | 6 | 5 | 30 |
4 | 6 | 7 | 210 |
5 | 30 | 11 | 2310 |
6 | 30 | 13 | 30030 |
7 | 210 | 17 | 510510 |
8 | 210 | 19 | 9699690 |
9 | 210 | 23 | 223092870 |
10 | 210 | 29 | 6469693230 |
11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |
參見
參考文獻
- Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.
- ^ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. (编). Primorial. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- ^ 2.0 2.1 2.2 Sloane, N.J.A. (编). Sequence A002110 (Primorial numbers (first definition): product of first n primes. Sometimes written prime(n)#). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A034386 (Primorial numbers (second definition): n# = product of primes <= n.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Chebyshev Functions. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).