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聽出鼓的形狀

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這兩塊理想鼓膜發出的聲音一樣,但其形狀不同。 所謂聲音一樣,意思是其具有相同的特徵頻率,因此敲擊發出的音色將具有相同的泛音。此例子由下文的戈登、韋伯,以及沃爾珀特給出。留意兩個多邊形具有相同的面積和周長

音色(即其泛音列),利用數學理論,來獲取鼓膜形狀的信息,謂之聽出鼓的形狀美國數學月刊於1966年刊登了馬克·卡克英语Mark Kac的論文〈能否聽出鼓的形狀?〉,文題由利普曼·伯斯英语Lipman Bers給出。此數學問題可回溯至赫尔曼·外尔

卡克1966年的論文使此問題廣為人知。他因為該論文於1967年獲萊斯特·福特獎英语Paul R. Halmos – Lester R. Ford Award,並於1968年獲肖夫內獎英语Chauvenet Prize[1]

鼓膜可以振動的頻率取決於其形狀。假若已知形狀,則可用亥姆霍兹方程求出頻率。該些頻率為空間(鼓膜)上的拉普拉斯算子特征值。問題是單由該些頻率是否能確定鼓膜的形狀。例如,沒有其他形狀的鼓膜與正方形鼓膜有相同的泛音列。卡克未能得知是否存在兩個不同的形狀,其具有相同的泛音列。結果,在1992年,戈登、韋伯,以及沃爾珀特證得頻率不能完全決定形狀,解決了原來的問題。

正式敍述

更正式地,鼓視為邊界鉗緊的彈性膜,數學上表示成平面上的一個區域 D. 設 λn 為其狄利克雷特徵值英语Dirichlet eigenvalue:即以下拉普拉斯算子狄利克雷問題

的特徵值。兩個區域若具有完全相同的特徵根列,則稱其等譜英语isospectral,或同音(英語:homophonic)。稱為「同音」的原因是,該些狄利克雷特徵值恰好是鼓所能發出的基調:其為鉗緊邊界的波動方程的解的傅立葉系數

於是,可以將問題轉述成:只知 λn 之值,可以推導出 D 的何種性質?又或,更具體地,是否有兩個不同形狀但等譜的區域?

也可以從數個不同方向推廣,提出同樣的問題。其一,可將平面換成高維或黎曼流形,考慮其上的拉氏算子的狄利克雷問題。其二,可將拉氏算子換成其他橢圓算子,例如柯西-黎曼算子狄拉克算子。其三,可考慮狄利克雷條件以外的其他邊界條件,例如諾伊曼邊界條件。相關課題屬於譜幾何英语Spectral geometry的研究。

答案

由一個連續參數給出的一族等譜的鼓

問題提出後,約翰·米爾諾很快觀察到,恩斯特·維特英语Ernst Witt的一條定理足以推出存在兩個不同形狀的 16 維環面,其具有相同的特徵值。然而,原來的二維問題要待1992年才得到解決。當時,卡羅林·戈登英语Carolyn Gordon , 大衛·韋伯 (數學家)英语David Webb (mathematician) 和斯科特·沃爾珀特利用砂田方法(得名自砂田利一英语Toshikazu Sunada), 在平面上構造了兩個不同形狀,但卻具有同樣特徵值的區域。該些區域為凹多邊形。其特徵值相等的證明用到拉氏算子的對稱性。彼得·布塞尔英语Jürg Peter Buser與合作者推廣了此想法,從而構造了若干類似的例子。因此,卡克原先問題的答案是否定的:對於許多形狀,不能完全聽出鼓的形狀,不過仍可推斷出若干性質。

另一方面,史提夫·澤爾迪奇英语Steve Zelditch證明,若將卡克的問題收窄到僅考慮邊界解析的平面凸區域,則會得到肯定的答案。仍未知道是否存在兩個非凸的解析區域具有同樣的特徵值,但已知的是,與某個給定區域等譜的所有區域組成的集合,在 C 拓撲中是緊集。又例如,由鄭氏特徵值比較定理英语Cheng's eigenvalue comparison theorem知,球面是譜剛的(英語:spectrally rigid, 即若有流形與之等譜,則其形狀亦必與之相同)。此外,利用奧斯古德(Osgood)、菲利浦斯(Phillips)和薩納克(Sarnak)的成果,可以證明固定虧格黎曼面組成的模空間中,没有過任何點的連續等譜流,且該模空間在弗雷歇-施瓦茨拓撲(英語:Fréchet–Schwartz topology)下為緊。

外爾公式

外爾公式斷言,可藉 λn 的增長速度推斷鼓的面積 A。定義 N(R) 為小於 R 的特徵值的數目,則可得

其中 d 是維數,d-維單位球的體積。外爾猜想迫近式的第二項將給出 D 的周長,即有

其中 L 表示周長(高維情況下則為表面積)。維克托·伊夫里英语Victor Ivrii於1980年證明了上式對於某類邊界光滑的流形適用,其不具由兩個連續參數給出的一族測地線(例如球面則具有如此一族測地線)。

外爾-貝里猜想

對於邊界非光滑的情況,邁克爾·貝里於 1979 年猜想,修正值的量級應為

其中 D 為邊界的豪斯多夫維數。寶樂沙 (法語:J. Brossard)和卡莫納(法語:R. A. Carmona)推翻了此猜想,但提出應將豪斯多夫維數改成頂盒維數(即上計盒維數)。在平面上,邊界維數為 1 的情況已獲證(1993 年),但大多數高維情況被否證(1996 年),兩個結論都是拉皮迪法语:fr:Michel_Lapidus波默蘭斯英语Carl Pomerance的成果。

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行內引用

  1. ^ 存档副本. [2020-10-04]. (原始内容存档于2021-05-06). 
  2. ^ Arrighetti, W.; Gerosa, G. Can you hear the fractal dimension of a drum?. Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences 69. World Scientific. 2005: 65–75. ISBN 978-981-256-368-2. arXiv:math.SP/0503748可免费查阅. doi:10.1142/9789812701817_0007.  |journal=被忽略 (帮助)

參考資料

外部鏈結