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网球拍定理

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網球拍的三個主軸

网球拍定理或者中间轴定理,又称贾尼别科夫效应扎尼别科夫效应(Dzhanibekov Effect)是经典力学中描述自由刚体运动时欧拉方程的解,该刚体可以绕三个不同的主轴旋转,并且三个转动惯量互不相等。因为该现象由俄罗斯宇航员弗拉基米尔·扎尼别科夫于1985年在太空中发现,因以為名[1]。1991年的一篇论文解释了该效应[2],不過此現象在至少150年前就已被發現[3]

该定理所描述的現象為:剛體繞著第一個和第三個主轴轉動時很穩定,但繞居中的主軸轉動時則不穩定。我們可以用下面的实验来解释:握住拍柄使得拍面呈水平,然後將球拍拋至空中,繞著垂直握把的水平軸(圖中 ê2)旋轉,再試著接住球拍。旋轉過程中,拍面自身很可能也會轉了半圈,以致不容易接住。相對而言,如果是繞著握把軸(圖中 ê1)或是與拍面垂直的軸(ê3)旋轉,則可以不造成其他軸旋轉半圈。

事实上,该实验可以用任意有三个不同转动惯量的物体来实现,例如书本或者电视遥控器。只要旋转轴稍微与第二主轴不同,该现象就会发生,不依赖于空气阻力或者重力。

網球拍繞三個軸旋轉的影片。中間那格從亮邊翻轉到了暗邊。

数学描述

自由转动时,欧拉方程的形式为

这里,为三个转动惯量,并假设为三个相应的角速度,为其时间导数。

现在研究绕主轴1旋转的情况,要确定平衡状态的性质,可以假设另外两个初始角速度都非常小,从而也非常小,所以与时间的关系可以忽略掉。

然后对方程(2)求导,并把到代入其中,从而有

微重力下的網球拍原理,來自 NASA

值得一提的是,注意,现在的符号发生了变化,所以绕着这根轴旋转是稳定的。

对于也是类似的原因,也是稳定的。

现在将一样的分析应用到上,这一次是非常小,与时间的关系可以忽略。

对方程(1)求导,并把到代入其中,从而有

注意,的符号保持不变(角速度会增长),所以绕主轴2旋转不稳定。因此,一个很小的扰动就会使物体发生"翻转"。

参考文献

  1. ^ Эффект Джанибекова - Форумы CNews. live.cnews.ru. [2016-03-26]. (原始内容存档于2016-08-16) (俄语). 
  2. ^ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone and Richard H. Cushman (1991).
  3. ^ Derek Muller. The Bizarre Behavior of Rotating Bodies, Explained. Veritasium. September 19, 2019 [February 16, 2020]. (原始内容存档于2021-10-12).