向下的重力(Fg)相等於向上的阻力(Fd)。此時物體的淨力為零,因此物體的速度保持不變。
在流體動力學中,當物體在流體中運動時,在流體向物體運動反方向所施的力下,物體的運動速度因而不變,這時物體所移動的速度就是終端速度。
當向下的重力(Fg)相等於向上的阻力(Fd)時,自由落體中的物體會達到終端速度。此時物體的淨力為零,因此物體的速度保持不變[1]。
當物體加速的時候(一般是因為重力而向下加速),施向物體的抗力也在增加,使得加速度慢下來。在某一個速度下,所產生的抗力會相等於物體的重量(
)。這時候物體停止加速,並持續以不變的速度下落,這個速度就是終端速度(也叫沉降速度)。終端速度直接隨着重量與阻力的比值而變。更大的抗力代表較低的終端速度,而更大的重量則代表較高的終端速度。若一向下移動物體的速度大於終端速度(比方說它受一向下的力影響,或它掉進了較薄的大氣層區域,或它的形狀改變),它的速度會慢下來,直至達到終端速度為止。
例子
舉例說,基於風阻,一個採取俯伏向下自由落體姿勢的跳傘員,其終端速度約為195km/h(55m/s)[2]。這個速度是整個加速過程的漸近極限值,因為作用在身體上的有效力在接近終端速度的過程中,愈來愈接近互相平衡的狀態。在這個例子中,要達到終端速度的50%只需要3秒,達到90%則需要8秒,而達到99%就需要15秒,如此類推。
如果跳傘員把四肢拉起來的話,終端速度會提高。在這個例子中,終端速度會提昇至320km/h(90m/s)[2],幾乎到達游隼向下追捕獵物時的速度;一粒典型的.30-06步槍子彈在垂直下墜時也會達到這樣的終端速度——垂直下墜可能是因為被向上射擊後要回到地面,又或是從高樓上掉下——其速度是來自於一份1920年的美軍軍械研究報告[3] 。
競速跳傘員會使用頭向下俯衝的姿勢來達到更高的速度,2012年之前的世界紀錄由約瑟夫·基廷格在1960年所創下,速度為988km/h,當時位於海拔較高的地方,因此大氣層較為稀薄,空氣阻力較小[2] 。菲利克斯·保加拿為了打破此紀錄,在2012年10月15日從39公里高的同溫層跳下,最高時速高達1357.6km/h,是目前的世界紀錄保持人。[4]
一向着地球表面下墜物體的速度,每秒鐘會增加每秒鐘9.806米(即加速度為9.806m‧s-2)。物體會達到終端速度的原因是,阻力的大小與速度的平方成正比。在低速時,阻力比重力要小得多,所以物體加速。當物體在加速時,阻力增加,直至與重量相等。阻力同時亦取決於投影面積。就是因為這個原因,相對於質量有着大投影面積的物體,如降落傘,比其他這方面小的物體,如子彈,有着更低的終端速度。
數學上,無視浮力的終端速度可用下式表示:
![{\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee680de6632767977a602cfbed943853e3854cdc)
其中
為終端速度,
為物體重量,
為地球所引起的加速度,
為阻力係數,
為物體落下時所處的流體密度,
為物體的投影面積。
數學上,一物體漸近地到達終端速度。
由周遭流體向物體所施的向上力所造成的浮力效應,可用阿基米德定律來描述:質量
必須減去所排開的流體質量
,其中
為物體的體積。所以不使用
,在各方程中改用約化質量
。
在地球上,一物體的終端速度取決於流體的性質、物體的質量及其橫截表面積的投影大小。
空氣密度隨着海拔減少而增加,海拔每減少80米,密度就增加約1%(使用氣壓公式)。若物體下降時穿越大氣層,每下降160米,終端速度就會減少1%。當物點達到所處點的終端速度後,若持續下降,則物體會因為新位置的終端速度而減速。
終端速度的推導
數學上,把向下定義為正方向,物體在接地球表面落下是所受的淨力Fnet為(根據牛頓第二運動定律):
。
其中:
a為加速度,
FD為阻力。
根據阻力公式:
。
將上兩式結合可得
。
在平衡時,淨力為零(F=0):
。
解v可得,
。
速度v作為時間t函數解的推導
|
阻力方程為
。
取'k = 1⁄2ρACd,此時方程的形式較為實用。
兩邊一起除以m得
。
整理方程得
。
取兩邊積分得
,
其中α = ( k⁄mg )1⁄2.
積分後,得
![{\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v^{\prime }) \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v^{\prime })}{2\alpha }}+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v^{\prime }}{1-\alpha v^{\prime }}} \over 2\alpha }+C\right]_{v^{\prime }=0}^{v^{\prime }=v},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0753e1e951d91e29e502c1bc0067623323428b37)
或簡化形式
![{\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}\ .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b531f3d00427066768060b6d7811ed99e0b1d5c)
反雙曲正切函數(arctanh)的定義為:
.
故方程解的積分為
,
上式可簡化成
,
其中tanh為雙曲正切函數。設g為正數(它的定義確實是正數),然後把α的值代入,得
,
代入k = 1⁄2ρACd,得v所需的形式
,
當時間趨向無限(t → ∞),雙曲正切趨向1,得終端速度
。
|
由能量守恒推導
|
能量守恒方程为
。
分离v得到
。
当时间趋近无限,即高度趋近于无限( h = vt , v 始终为正), h → ∞ , 故以上式子取极限得
。
|
有浮力情況下的終端速度
當考慮浮力效應時,因自身質量而在流體中下沉的物體,若其淨力為零,就會達到終端速度(沉降速度)。當達到終端速度時,物體的重量會正好等於向上的浮力與阻力之和。即:
![{\displaystyle \quad (1)\qquad W=F_{b}+D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9653b3b1df4eedbc1991bde484822c40c8de8d5)
其中
為物體的重量,
為作用於物體上的浮力,及
為作用於物體上的阻力。
若下沉的物體是球狀的,則三種力的表示式如下:
![{\displaystyle \quad (2)\qquad W={\tfrac {\pi }{6}}d^{3}\rho _{s}g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d857f183cdbe281be7e810ec1beed597c7b92e9)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
![{\displaystyle \quad (4)\qquad D=C_{d}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957dd02aa2c3a47413c76393312398a1cc53468b)
其中
為球體的直徑,
為重力加速度,
為流體的密度,
為球體的密度,
為球體投影面積,
阻力係數,及
為特徵速度(即終端速度,
)。
將方程(2)至(4)代入至方程(1),求解
的值,得下式:
。
蠕流下的終端速度
蠕流流過球體示意圖:流線、阻力Fd及重力Fg
對流體內非常慢的運動而言,相對於其他力,流體的慣性力是無關重要的(假設流體無質量)。這樣的流被稱為蠕流,而蠕流需要滿足雷諾數
的條件。蠕流的運動方程(簡化後的納維-斯托克斯方程)如下:
![{\displaystyle \nabla p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b02dcad8f6ffcb34e648c6a68fe3a2bd9adb141)
其中:
為速度向量場,
為壓力場,及
為流體黏度。
流過球體的蠕流解析解最早由喬治·斯托克斯於1851年提出。從斯托克斯的解可得作用於球體的阻力
或 ![{\displaystyle \qquad \qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fbc0c99802fa9c75314c9c59d4b5a5388090c9b)
其中雷諾數
。方程(6)中表示阻力的式子又被稱為斯托克斯定律。
把
的值代入至方程(5),可得球狀物體在蠕流條件下的終端速度表示式:
。
應用
蠕流的計算結果可被用於研究近海底沉積粒子的沉降,及大氣層中下降的水滴。其原理被應用於落球式黏度計,一種量度高黏度流體黏度的實驗裝置。
另見
参考文献
- ^ 終端速度. 美國太空總署格林研究中心NASA Glenn Research Center. [2009-03-04]. (原始内容存档于2009-02-23). (英文)
- ^ 2.0 2.1 2.2 Huang, Jian. 跳傘者的速度(終端速度). The Physics Factbook. Glenn Elert, Midwood High School, Brooklyn College. 1999 [2017-02-24]. (原始内容存档于2020-11-24). (英文)
- ^ The Ballistician. Bullets in the Sky. W. Square Enterprises, 9826 Sagedale, Houston,Texas 77089. March 2001. (原始内容存档于2008-03-31).
- ^ 奧地利冒險家鮑姆加特納太空跳傘. BBC中文網. 2012-10-14 [2012-10-14]. (原始内容存档于2012-10-19).
外部連結