混合图
混合图(mixed graph)G = (V, E, A)是由顶点 (节点)的集合V、无向边的集合E和有向边的集合A所组成的数学对象。[1]
定义和标识
考虑一对相邻的顶点 。有向边,是一个有方向的边,其可以表示为 或 (即该有向边为由指向)。[2] 同样地,无向边,是一个没有方向的边,其可以表示为 或 。[2]
在以下给出的应用实例中,我们不考虑混合图中包含自环或多重边的情况。
混合图或混合循环中的循环,是由有向边在混合图中构成的循环。[1]如果不能从有向边形成循环,则认为混合图的方向是无环的。[1]如果一个混合图的所有方向都是无环的,我们称它为有向无环图。[1]
着色
混合图着色可以看作是使用k种不同颜色(其中k是正整数)对混合图顶点进行标记或赋值。[3]通过边连接的两端顶点必须颜色不同。颜色可以由1到k的数字表示,对于有向边,箭头后端的颜色对应数字必须小于箭头前端的颜色对应数字。[3]
实例
例如右图,我们可用于混合图的k着色方式为 。由于 和 之间有边连接,他们必须用不同颜色进行标记(如将 和 分别标记为1和2)。 和之间为有向边连接,因此箭头后端的颜色标记必须小于箭头前段的颜色标记。
强着色和弱着色
混合图的k着色方式是一个函数。
其中,当(无向边)时,当(有向边)时。[1]再回到实例中,这意味着我们可以将有向边的前端和后端 均标记为正整数2。
存在
假设混合图为G,能否做到将其完全着色是不确定的。为了使混合图有一个k着色方式,图中不能包含任何有向循环。[2] 如果这样的k着色方式存在,那么我们为了给整个图着色的最小着色数(k值)可记为。[2] 我们可以通过构建k的多项式函数来计算合理的k着色方式的数量,其被称为图G的着色多项式(可用无向图的着色多项式来类比),其定义式为。[1]
计算弱色多项式
塔特多项式中的删除–收缩方法可用于计算弱色多项式的混合图。这个方法涉及删除(或移除)有向或无向边,合并(或关联)与该无向或有向边相连的其余顶点形成一个顶点。[4] 在删除无向边之后,从之前的混合图 可得到新的混合图 。[4] 可将删除无向边之后剩余的边表示为 。类似地,在删除有向边之后,将剩余的边表示为,可获得新的混合图。[4] 同样,我们可以将合并和分别表示为 和 。[4] 根据以上给出的条件,我们得到以下方程来计算混合图的着色多项式:[4]
应用
调度问题
混合图可用于对车间调度问题进行建模,例如在一定的时间限制下执行一系列任务的问题。在这类问题中,无向边可用于设定两个任务不兼容(不能同时执行)的约束。有向边可用于优先级约束,即其中一个任务必须先于另一个任务执行。用这种方法从调度问题的角度定义的图称为析取图。混合图着色问题可用于规划执行所有任务的最小长度。[2]
贝叶斯推理
混合图也用作贝叶斯推理的概率图模型。下文中无环混合图(没有有向边循环的图)也称为链图。这些图的有向边用来表示两个事件之间的因果关系,其中第一个事件的结果影响第二个事件的概率。相反的是,无向边则表示两个事件之间的非因果关系。链图的无向子图的连通分量称为链。一个链图可以通过构造它的道德图从而转化为一个无向图,链图可以在其含有同一链的顶点对之间添加无向边,然后忽略有向边的方向从而形成无向图。
注释
- ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Beck et al. (2013,第1頁)
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Ries (2007,第1頁)
- ^ 3.0 3.1 Hansen, Kuplinsky & de Werra (1997,第1頁)
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Beck et al. (2013,第4頁)
- ^ 5.0 5.1 Beck et al. (2013,第5頁)
参考文献
- Beck, M.; Blado, D.; Crawford, J.; Jean-Louis, T.; Young, M., On weak chromatic polynomials of mixed graphs, Graphs and Combinatorics, 2013, arXiv:1210.4634 , doi:10.1007/s00373-013-1381-1.
- Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J., Probabilistic Networks and Expert Systems: Exact Computational Methods for Bayesian Networks, Springer-Verlag New York: 27, 1999 [2019-05-21], ISBN 0-387-98767-3, doi:10.1007/0-387-22630-3, (原始内容存档于2020-06-12)
- Hansen, Pierre; Kuplinsky, Julio; de Werra, Dominique, Mixed graph colorings, Mathematical Methods of Operations Research, 1997, 45 (1): 145–160, MR 1435900, doi:10.1007/BF01194253.
- Ries, B., Coloring some classes of mixed graphs, Discrete Applied Mathematics, 2007, 155 (1): 1–6, MR 2281351, doi:10.1016/j.dam.2006.05.004.