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测度收敛

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测度收敛测度论中的一个概念: 假设可测空间上有一个有趣却很难直接构造的测度μ,我们希望能找到一列相对容易构造或分析的测度 ,随着 的增大, 的性质与 越来越相似。 '越来越相似' 和一般的 序列的极限的想法一致:对于任何可接受的误差 ,只要 充分大, 对于任何 之间的'差别'小于 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些定义可能互相不等价,强弱有别。

下面介绍3种最常见的测度收敛的定义。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

测度的弱收敛

数学统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.[1]

定义 为拥有 Borel σ-代数 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度 , 弱收敛于概率测度 ,(记为

如果下面任何一条条件得到满足 ( 为关于概率 的数学期望, 为关于概率 的数学期望):

  • 对于任何有界连续的函数 ,
  • 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 ,
  • 对于任何有上界的 上半连续 的函数 ,
  • 对于任何有下界的 下半连续 的函数 ,
  • 对于任何空间S中的闭集  ;
  • 对于任何空间S中的开集  ;
  • 对于任何关于概率P连续的集合 .

參考來源

  1. ^ Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047-6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3

参考文献