五角錐

五角錐型分子構型
五角錐型分子構型
舉例	XeOF−; 5
點群	C5v
空間位數	7
配位数	6
鍵角	90°, 72°
極性（μ）	>0

正五角錐
類別	Johnson多面體 ; J1 - J2 - J3
對偶多面體	正五角錐 (本身)
數學表示法
施萊夫利符號	()∨{5}
性質
面	6
邊	10
頂點	6
歐拉特徵數	F=6, E=10, V=6 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	5個正三角形 ; 1個正五邊形
頂點佈局; （英语：Vertex_configuration）	5(32.5); (35)
對稱性
對稱群	C5v, [5], (*55)
旋轉對稱群; （英語：Rotation_groups）	C5, [5]+, (55)
特性
	凸
圖像
	; （展開圖）
	; （展開圖）
	查; 论; 编;

五角錐
	五角錐
類別	錐體
對偶多面體	五角錐（自身對偶）
性質
面	6
邊	10
頂點	6
歐拉特徵數	F=6, E=10, V=6 （χ=2）
組成與佈局
面的種類	5個三角形（側面）; 1個五邊形（底面）
特性
	凸
圖像
; 五角錐（自身對偶）; （對偶多面體）	; （展開圖）
	查; 论; 编;

五角錐是指底面為五邊形的錐體。五角錐可以根據底面的特性分類，例如凹五角錐、凸五角錐和正五角錐。所有五角錐皆由6個面、10條邊和6個頂點組成。^[1]若一個正五角錐側面也由正多邊形組成，則這個立體是一種詹森多面體。在化學中，部分化學物質的分子形狀為五角錐形，例如六甲苯的雙電子離子。

種類

五角錐可以透過底面的性質進行分類。其中，底面為正五邊形的五角錐稱為正五角錐，特別地，若側面也是正多邊形，即正三角形，則屬於詹森多面體；若底面為凹多邊形稱為凹五角錐；若底面為凸多邊形稱為凸五角錐。若高並非垂直於底面則稱為斜五角錐，一般五角錐的側面皆為等腰三角形，然而斜五角錐的側面不完全是等腰三角形。^[2]

五角錐（左）與斜五角錐（右）

正五角錐

正五角錐是指底面為正五邊形的五角錐體。^[3]正五角錐由1個正五邊形（底面）和5個三角形組成，共有10條邊和6個頂點。在這6個頂點中有5個頂點是3個面（2個三角形和1個五邊形）的公共頂點以及1個頂點是5個三角形的公共頂點。正五角錐具有五摺錐體對稱性。（C5v）^[4]

側面不為正三角形的正五角錐
所有面都是正多邊形的正五角錐

對任意正五角錐而言，其側面邊長 $e$ 與斜高 $s$ 可透過底面邊長 $a$ 與高 $h$ 來決定：^[3]

e={\sqrt {h^{2}+{\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}a^{2}}}\approx {\sqrt {0.7236a^{2}+h^{2}}}

^[3]

s={\sqrt {h^{2}+{\frac {5+2{\sqrt {5}}}{20}}a^{2}}}\approx {\sqrt {0.4736a^{2}+h^{2}}}

^[3]

此時這個高為 $h$ 且底面邊長為 $a$ 的正五角錐表面積 $A$ 與體積 $V$ 為：^[3]

S={\frac {5a\left(a+{\sqrt {a^{2}+4\left(5-2{\sqrt {5}}\right)h^{2}}}\right)}{4{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}}

^[3]

V={\frac {a^{2}h{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{12}}\approx 0.57349a^{2}h

^[3]

詹森多面體

若一個正五角錐底面和側面皆為正多邊形，則這種立體是一種詹森多面體（J₂）中的一個。它能被看作為截角二十面體被截下的其中一塊，或說是正二十面體被截成正五角锥反角柱（J₁₁）所剩的錐體。1966年首先被諾曼·詹森（英语：Norman Johnson (mathematician)）命名、描述。^[5]

若一正五角錐的底面和側面都是正多邊形，則其高可透過邊長決定：

H=\left({\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\right)a\approx 0.52573a.

^[6]

正五角錐的表面積 $A$ 與體積 $V$ 為：

A={\frac {a^{2}}{2}}{\sqrt {{\frac {5}{2}}\left(10+{\sqrt {5}}+{\sqrt {75+30{\sqrt {5}}}}\right)}}\approx 3.88554\cdot a^{2}.

^[3]^[6]

V=\left({\frac {5+{\sqrt {5}}}{24}}\right)a^{3}\approx 0.30150a^{3}.

^[3]

五角星錐

五角星錐是指底面為五角星的五角錐，其是一種非凸多面體，因為這個立體的側面與側面互相相交。^[7]這種星形五角錐可以在大十二面體上找到。^[8]

使用

五角堂（日语：五角堂）的屋頂為五角錐型結構^[9]^[10]^[11]。

在化學中，C
6(CH
3)2+
6的分子結構成五角錐形^[12]。此外，當分子的原子落在五角錐上時，無論化學鍵的連接方式是否同於五角錐，都可以稱之為五角錐型分子構型。例如XeOF−
5和IOF2−
5離子的分子構型皆為五角錐型。^[13]^[14]

五角堂（日语：五角堂）
六甲苯的雙電子離子（C
6(CH
3)2+
6）的分子棒狀模型
五角錐型分子構型

五角錐型分子構型

在化學中，五角錐型分子構型是指頂點原子正好依照五角錐的方式排列的分子結構。^[15]^[16]在這個分子構型中，有6個原子、官能基或配基繞著中心原子排列，其中5個位於同一平面上，且中心原子帶有一對孤電子對^[17]^:413–414。目前已知有兩種離子的分子構型是五角錐形，分別是XeOF−
5離子^[13]和IOF2−
5離子^[13]^[14]。這種分子構型是有著不均勻鍵角的少數分子鍵的其中一種。

參考文獻

^ 胡韻芝. 能從頂、棱和面的數目確定多面體的形狀嗎？ (PDF). EduMath. 2005-06, 20 [2021-09-04]. （原始内容存档 (PDF)于2022-03-31）.
^ 角錐與圓錐. 南一出版. [2021-09-04]. （原始内容存档于2022-03-14）.
^ ^3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-04-12] （英语）.
^ Johnson Solids: Regular Pentagonal Pyramid. dmccooey.com. [2021-09-04]. （原始内容存档于2021-09-04）.
^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .
^ ^6.0 ^6.1 Sapiña, R. Area and volume of a pentagonal pyramid and Johnson solid J₂. Problemas y ecuaciones. [2020-06-29]. ISSN 2659-9899. （原始内容存档于2021-11-13）（西班牙语）.
^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 50, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, （原始内容存档于2013-12-11） .
^ ^8.0 ^8.1 立花徹美. 星形正多面体の正投象による基本図の作図. 図学研究 (日本図学会). 1987, 21 (3): 21–27.
^ 「日研」新聞編集委員会編『茨城108景をめぐる』川崎松濤監修、筑波書林、1991年9月20日：p.184
^ 茨城地方史研究会編『茨城の史跡は語る』瀬谷義彦・佐久間好雄監修、茨城新聞社、1989年12月30日：pp.189 - 190
^ 中村哲夫『茨城の建築探訪』崙書房出版、2006年5月20日. ISBN 4-8455-1127-4：pp.52 - 53
^ Ritter, Stephen K. Six bonds to carbon: Confirmed. Chem. Eng. News. 19 December 2016, 94 (49): 13 [2021-08-29]. doi:10.1021/cen-09449-scicon007. （原始内容存档于2017-01-09）.
^ ^13.0 ^13.1 ^13.2 Baran, E. Mean amplitudes of vibration of the pentagonal pyramidal XeOF−
5 and IOF2−
5 anions. J. Fluorine Chem. 2000, 101: 61–63. doi:10.1016/S0022-1139(99)00194-3.
^ ^14.0 ^14.1 Housecroft, Catherine E.; Sharpe, Alan G. Inorganic Chemistry 2nd. Pearson Prentice-Hall. 2005: 485. ISBN 0130-39913-2.
^ D. L. Kepert. Aspects of the Stereochemistry of Eight-Coordination. Progress in Inorganic Chemistry. 1978, 24: 179–249. doi:10.1002/9780470166253.ch4.
^ Von Zelewsky, A. Stereochemistry of Coordination Compounds. Chichester: John Wiley. 1995. ISBN 0-471-95599-X.
^ Petrucci, R. H.; W. S., Harwood; F. G., Herring. General Chemistry: Principles and Modern Applications 8th. Prentice-Hall. 2002. ISBN 978-0-13-014329-7.
^ ^18.0 ^18.1 Weisstein, Eric W. (编). Gyroelongated pentagonal pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Kumar, CP. On the Coherent Labelling Conjecture of a Polyhedron in Three Dimensions. arXiv preprint arXiv:1801.08685. 2018.
^ Gunilla Borgefor. Uniform polyhedra, part 1. Centre for Image Analysis, Uppsala University, Sweden. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-09-06）.
^ Hafner, Izidor. Dissection of small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron to rhombic triacontahedron and hexecontahedron. Visual Mathematics (Mathematical Institute SASA). 2007, (34).

外部連結

[3] 胡韻芝. 能從頂、棱和面的數目確定多面體的形狀嗎？ (PDF). EduMath. 2005-06, 20 [2021-09-04]. （原始内容存档 (PDF)于2022-03-31）.

[4] 角錐與圓錐. 南一出版. [2021-09-04]. （原始内容存档于2022-03-14）.

[mw-7] 3.00 ^3.01 ^3.02 ^3.03 ^3.04 ^3.05 ^3.06 ^3.07 ^3.08 ^3.09 Weisstein, Eric W. (编). Pentagonal Pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-04-12] （英语）.

[PentagonalPyramid,_dmccooey-8] Johnson Solids: Regular Pentagonal Pyramid. dmccooey.com. [2021-09-04]. （原始内容存档于2021-09-04）.

[9] Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8 .

[pye-10] 6.0 ^6.1 Sapiña, R. Area and volume of a pentagonal pyramid and Johnson solid J₂. Problemas y ecuaciones. [2020-06-29]. ISSN 2659-9899. （原始内容存档于2021-11-13）（西班牙语）.

[11] Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 50, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, （原始内容存档于2013-12-11） .

[立花徹美1987-12] 8.0 ^8.1 立花徹美. 星形正多面体の正投象による基本図の作図. 図学研究 (日本図学会). 1987, 21 (3): 21–27.

[i1084-13] 「日研」新聞編集委員会編『茨城108景をめぐる』川崎松濤監修、筑波書林、1991年9月20日：p.184

[14] 茨城地方史研究会編『茨城の史跡は語る』瀬谷義彦・佐久間好雄監修、茨城新聞社、1989年12月30日：pp.189 - 190

[15] 中村哲夫『茨城の建築探訪』崙書房出版、2006年5月20日. ISBN 4-8455-1127-4：pp.52 - 53

[PyramidalC&ENews-16] Ritter, Stephen K. Six bonds to carbon: Confirmed. Chem. Eng. News. 19 December 2016, 94 (49): 13 [2021-08-29]. doi:10.1021/cen-09449-scicon007. （原始内容存档于2017-01-09）.

[Baran-17] 13.0 ^13.1 ^13.2 Baran, E. Mean amplitudes of vibration of the pentagonal pyramidal XeOF−
5 and IOF2−
5 anions. J. Fluorine Chem. 2000, 101: 61–63. doi:10.1016/S0022-1139(99)00194-3.

[Inorganic_Chemistry-18] 14.0 ^14.1 Housecroft, Catherine E.; Sharpe, Alan G. Inorganic Chemistry 2nd. Pearson Prentice-Hall. 2005: 485. ISBN 0130-39913-2.

[19] D. L. Kepert. Aspects of the Stereochemistry of Eight-Coordination. Progress in Inorganic Chemistry. 1978, 24: 179–249. doi:10.1002/9780470166253.ch4.

[20] Von Zelewsky, A. Stereochemistry of Coordination Compounds. Chichester: John Wiley. 1995. ISBN 0-471-95599-X.

[Petrucci-21] Petrucci, R. H.; W. S., Harwood; F. G., Herring. General Chemistry: Principles and Modern Applications 8th. Prentice-Hall. 2002. ISBN 978-0-13-014329-7.

[mw_GyroelongatedPentagonalPyramid-22] 18.0 ^18.1 Weisstein, Eric W. (编). Gyroelongated pentagonal pyramid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[kumar2018coherent-23] Kumar, CP. On the Coherent Labelling Conjecture of a Polyhedron in Three Dimensions. arXiv preprint arXiv:1801.08685. 2018.

[24] Gunilla Borgefor. Uniform polyhedra, part 1. Centre for Image Analysis, Uppsala University, Sweden. [2021-09-06]. （原始内容存档于2021-09-06）.

[hafner2007dissection-25] Hafner, Izidor. Dissection of small stellated dodecahedron and great stellated dodecahedron to rhombic triacontahedron and hexecontahedron. Visual Mathematics (Mathematical Institute SASA). 2007, (34).

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查论编錐體與柱體
錐體	三角錐正三角錐四角錐五角錐六角錐七角錐八角錐九角錐十角錐十一角錐十二角錐 ... 無限角錐
雙錐體	雙三角錐雙四角錐雙五角錐雙六角錐雙七角錐雙八角錐雙九角錐雙十角錐 ... 雙無限角錐
柱體	三角柱四角柱五角柱六角柱七角柱八角柱九角柱十角柱十一角柱十二角柱 ... 無限角柱（雙曲）
反柱體	三角反柱四角反柱五角反柱六角反柱七角反柱八角反柱 ... 無限角反柱
錐台	三角錐台四角錐台五角錐台六角錐台 ...
雙錐台	雙三角錐台雙四角錐台雙五角錐台雙六角錐台 ...
錐柱體	三角錐柱四角錐柱五角錐柱六角錐柱七角錐柱八角錐柱 ... 無限角錐柱
雙錐柱體	雙三角錐柱雙四角錐柱雙五角錐柱雙六角錐柱雙七角錐柱雙八角錐柱 ... 雙無限角錐柱
角錐反柱	三角錐反柱四角錐反柱五角錐反柱六角錐反柱 ...
雙錐反柱	雙三角錐反柱雙四角錐反柱雙五角錐反柱雙六角錐反柱 ...
其他	圓錐圓柱雙圓錐圓錐柱

查论编詹森多面體
棱锥、帳塔和罩帳	正四角錐正五角錐正三角帳塔正四角帳塔正五角帳塔正五角罩帳
棱锥與擬柱體的組合	正三角錐柱正四角錐柱正五角錐柱正四角錐反角柱正五角錐反角柱雙三角錐雙五角錐雙三角錐柱雙四角錐柱雙五角錐柱雙四角錐反角柱
帳塔和罩帳與擬柱體的組合	三角帳塔柱四角帳塔柱五角帳塔柱正五角罩帳柱正三角帳塔反角柱正四角帳塔反角柱正五角台塔反角柱正五角罩帳反角柱異相雙三角柱同相雙三角台塔同相雙四角台塔異相雙四角台塔同相雙五角台塔異相雙五角台塔同相五角台塔丸塔異相五角台塔丸塔同相雙五角丸塔（英语：Pentagonal orthobirotunda）同相雙三角台塔柱（英语：Elongated triangular orthobicupola）異相雙三角台塔柱（英语：Elongated triangular gyrobicupola）異相雙四角帳塔柱同相雙五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobicupola）異相雙五角台塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobicupola）同相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthocupolarotunda）異相五角台塔丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrocupolarotunda）同相五角雙丸塔柱（英语：Elongated pentagonal orthobirotunda）異相五角雙丸塔柱（英语：Elongated pentagonal gyrobirotunda）雙三角台塔反角柱（英语：Gyroelongated triangular bicupola）雙四角台塔反角柱（英语：Gyroelongated square bicupola）雙五角台塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal bicupola）五角台塔丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal cupolarotunda）雙五角丸塔反角柱（英语：Gyroelongated pentagonal birotunda）
側錐棱柱	側錐三角柱二側錐三角柱三側錐三角柱側錐五角柱二側錐五角柱間二側錐五角柱側錐六角柱二側錐六角柱對二側錐六角柱間二側錐六角柱三側錐六角柱
側錐柏拉圖立體	侧锥正十二面体（英语：Augmented dodecahedron）对二侧锥正十二面体（英语：Parabiaugmented dodecahedron）间二侧锥正十二面体（英语：Metabiaugmented dodecahedron）三侧锥正十二面体（英语：Triaugmented dodecahedron）正二十面體欠鄰二側錐（英语：Metabidiminished icosahedron）正二十面體欠三側錐（英语：Tridiminished icosahedron）側錐正二十面體欠三側錐（英语：Augmented tridiminished icosahedron）
阿基米德立體與擬柱體的組合與缺少	側台塔截角四面體側台塔截角立方體對二側帳塔截角立方體側台塔截角十二面體（英语：Augmented truncated dodecahedron）對二側台塔截角十二面體（英语：Parabiaugmented truncated dodecahedron）間二側台塔截角十二面體（英语：Metabiaugmented truncated dodecahedron）三側台塔截角十二面體（英语：Triaugmented truncated dodecahedron）單旋側帳塔小斜方截半二十面體（英语：Gyrate rhombicosidodecahedron）對二旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Parabigyrate rhombicosidodecahedron）鄰二旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Metabigyrate rhombicosidodecahedron）三旋側台塔小斜方截半二十面體（英语：Trigyrate rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠一側台塔（英语：Diminished rhombicosidodecahedron）對單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英语：Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron）鄰單旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英语：Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron）二旋側台塔小斜方截半二十面體欠一側台塔（英语：Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron）小斜方截半二十面體欠對二側帳塔小斜方截半二十面體欠鄰二側帳塔（英语：Metabidiminished rhombicosidodecahedron）單旋側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔小斜方截半二十面體欠三側台塔
基本立體	扭稜鍥形體扭稜四角反角柱球狀屋頂側錐球狀屋頂加長型球狀屋頂廣底加長型球狀屋頂五角錐球狀屋頂雙新月雙罩帳三角廣底球狀罩帳
相關主題	擬詹森多面體條件邊正多邊形凸多面體欠 (多面體變換)
（參見詹森多面體列表）

種類

正五角錐

詹森多面體

五角星錐

使用

五角錐型分子構型

相關多面體與鑲嵌

參考文獻

外部連結