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柯爾莫果洛夫空間

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拓扑学和相关的数学分支中,T0空間,又稱柯爾莫哥洛夫空間(英語:T0 space 或 Kolmogorov space),以數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫命名,定義了一类廣泛地表現良好的拓扑空间。T0 条件是分离公理之一。

定义

拓樸空間T0空间当且仅当對所有相異的且,存在開集合使得[1]

T0 空间中所有相異点對都是拓扑可区分的。也就是说,对于任何两个相異的点,存在一个正好只包含两點之一的开集

注意拓扑可区分的点都是相異的。另一方面,如果单元素集合分离的,则点必為拓扑可区分的。也就是说:

「分离」「拓扑可区分」

拓扑可区分的條件一般强于相異的條件,但要弱于可分离的條件。

T0 空间中,第二个箭头可以反转:兩点相異当且仅当它们是拓樸可区分的。

例子和反例

在数学中经常研究的几乎所有拓扑都是 T0 的。例如所有豪斯多夫空间T1 空间都是 T0 的。

非 T0 空间

  • 在带有密着拓扑的多元素集合中,没有点是拓撲可区分的。
  • 特定拓撲中的集合。其中开集都是的开集和自身的笛卡尔乘积的形式(),即的平常拓扑和的密着拓扑的乘积空间;該拓撲中,點是不可区分的。(注意:中的元素,而非的開區間)
  • 实直线复平面可测函数的空间,使得 在整个实直线上的勒贝格积分有限的。此空間中几乎处处相等的两个函数是不可区分的。

T0 但非 T1 空间

  • 交换环 R素环谱 Spec(R) 上的 Zariski拓扑总是 T0 但一般不是 T1。非闭合点对应于不是极大理想素理想。它们对于理解概形是重要的。
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的特定点拓扑是 T0 但不是 T1,因为特定点不是闭合的(它的闭包是整个空间)。一种重要特殊情况是在集合 {0,1} 上的特定点拓扑的謝爾賓斯基空間
  • 在带有至少两个元素的任何集合上的排斥点拓扑是 T0 但不是 T1。唯一闭合点是排斥点。
  • 偏序集合上的Alexandrov拓扑是 T0 但不是 T1 除非这个次序是离散的(一致于相等性)。所有有限 T0 空间都是这种类型的。这还包括特定点和排斥点拓扑作为特殊情况。
  • 全序集合上的右序拓扑是有关的例子。
  • 重叠区间拓扑类似于特定点拓扑,因为所有开集都包括 0。
  • 非常一般的说,拓扑空间 X 是 T0 的,当且仅当在 X 上的特殊化预序偏序。但是,X 将是 T1 的,当且仅当这个次序是离散的(一致于相等性)。所以空间将是 T0 但不是 T1,当且仅当在 X 上的这个特殊化预序是非离散偏序。

操作 T0 空间

典型研究的拓扑空间的例子是 T0。实际上,当数学家在很多领域特别是数学分析中,偶尔遇到非T0 空间的时候,它们通过以如下方式把它替代为 T0 空间。为了激发涉及到的想法,考虑周知的例子。L2(R) 空间是从实直线 R复平面 C可测函数的空间,它使得 |f(x)|2 在整个实直线上的勒贝格积分有限的。这个空间应当通过定义范数 ||f|| 为这个积分的平方根来变成赋範向量空间。问题是这不是实际上的範数,只是半範数,因为有除了零函数之外有(半)范数为零的函数。标准解决是定义 L2(R) 为函数的等价类集合而不是直接的函数集合。这种构造了最初半赋範向量空间的商空间,而这个商是赋範向量空间。它从半赋範空间继承了一些方便的性质。

一般的说,在处理集合 X 上一个固定拓扑 T 的时候,如果这个拓扑是 T0 将是有帮助的。换句话说,在 X 是固定而 T 允许在特定边界内变化的时候,强迫 T 是 T0 将是不方便的,因为非 T0 拓扑经常是重要的特殊情况。因此,區分可以放置在拓扑空间上的各种条件的 T0 和非 T0 版本二者是重要的。

柯爾莫哥洛夫商空间

點與點之間的拓扑不可区分性是一種等价关系。對任意拓扑空间,通過考慮此等价关系給出的商空间总是T0空間。这个商空间叫做柯爾莫果洛夫商空间,寫作KQ()。如果本身已經是T0空間,则 KQ()和自然同胚

绝对的说,柯爾莫果洛夫空间是拓扑空间的反射子范畴,而柯爾莫果洛夫商是反射子。

拓扑空间的柯爾莫果洛夫商同胚時,被稱為柯爾莫果洛夫等价的。这种等价性保留很多拓扑空间的性质(如連通性,緊緻性);就是说,如果柯爾莫果洛夫等价,则有某种性质当且仅当也有。

另一方面,許多拓扑空间的性质蕴涵了 T0 性;就是说如果有这种性质,则必定是 T0的。只有很少性质比如「不可分空间」,是这个经验规则的例外(此條件不蕴涵 T0 性)。

更為理想地,在拓扑空间上定义的很多结构都可在和 KQ() 之间转移。结果就是如果你有带有特定结构或性质的非 T0 拓扑空间,则你通常可通过选取柯爾莫果洛夫商来形成带有相同结构或性质的 T0 空间。

L2(R) 的例子展示了这些特征。从拓扑学的角度,这个半赋範向量空间有很多额外的结构;例如,它是向量空间,并有半范数,并且这些定义了相容于这个拓扑的伪度量一致结构。还有,这些结构有很多性质;例如半范数满足平行四边形恒等式而一致结构是完备的。这个空间不是 T0 的因为几乎处处相等的任何两个 L2(R) 的函数关于这个拓扑是不可区分的。当我们形成柯爾莫果洛夫商的时候,实际的 L2(R) 保持了这些结构和性质。因此,L2(R) 也是满足平行四边形恒等式的完备半赋范向量空间。但是我们实际上得到的要多了一点,因为这个空间现在是 T0 的。半范数是范数,当且仅当底层拓扑是 T0,所以 L2(R) 实际上是满足平行四边形恒等式的完备赋范向量空间 — 也叫做希尔伯特空间。它是数学家(和研究量子力学物理学家)一般都研究的希尔伯特空间。注意符号 L2(R) 通常指示柯爾莫果洛夫商,在测度零的集合上有所不同的平方可积函数的等价类的集合,而非符号所暗示的简单的是平方可积函数的向量空间。

去除 T0

你可能注意到了,尽管范数历史上定义在先,人们也提出了半范数的定义,它是范数的一种非 T0 版本。一般的说,可以定义拓扑空间的性质和结构二者的非 T0 版本。首先,考虑拓扑空间的一个性质,比如是豪斯多夫的性质。你可以定义另一个拓扑空间性质,通过定义空间 X 为满足这个性质,当且仅当柯爾莫果洛夫商 KQ(X) 是豪斯多夫的。这是一个明智的不太著名的性质,这种空间 X 被为预正则的。(甚至有预正则性的更直接的定义)。现在考虑可以放置到拓扑空间上一个结构,比如度量。我们可以通过设置在 X 上的结构简单的是在 KQ(X) 上的度量来定义一个新结构。有这种在 X 上的明智的结构,它就是伪度量。(伪度量也有更直接的定义)。

在这种方式下,有从性质或结构的要求中去除 T0 性的自然方式。研究 T0 的空间一般要容易些,但让非 T0 的结构得到漂洗后的对应者也是容易的。使用柯爾莫果洛夫商的概念可以任意的增加或去除 T0 要求。


參考來源

  1. ^ Weisstein, Eric W. (编). T0-Space. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2017-10-04]. (原始内容存档于2020-06-28) (英语). 


外部链接